Ekuazio diferentzial

Ekuazio diferentziala funtzio bat bere deribatu edo diferentzialekin lotzen dituen ekuazioa da.^[1] Ekuazio hauek oso erabiliak hainbat alorretan, hala nola, zientzian, ingeniaritzan, ekonomian, eta abar.

Ponpa baten ganberan ematen den bero-transferentziaren irudikapena, beroaren ekuazioa ebatzi eta gero. Beroa ganberaren barruan sortu eta kanpoaldean hoztu egiten da.

Historia

Ekuazio diferentzialak Newtonek eta Leibnizek kalkulua asmatu ondoren agertu ziren. Newtonek hiru ekuazio diferentzial mota zerrendatu zituen 1671n idatzi zuen Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum liburuaren bigarren atalean:^[2]

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

Honek serie infinituez baliatu zen ekuaziook ebazteko. Gainera, lortutako soluzioen bakartasun ezaz eztabaidatu zuen bere liburuan.

1695ean Jakob Bernoullik Bernoulliren ekuazio diferentziala proposatu zuen, $y'+P(x)y=Q(x)y^{n}$ formako ekuazio diferentzial arrunta.^[3] Hurrengo urtean Leibnizek ekuazioari dagozkion soluzioak aurkitu zituen sinplifikatuz.^[4]

Historikoki Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli eta Joseph-Louis Lagrange matematekariek hari dardarkariaren problema aztertu zuten. 1746an d’Alembertek dimentsio bateko uhin-ekuazioa aurkitu zuen. Hamar urte geroago, Eulerrek hiru dimentsioko uhin-ekuazioa aurkitu zuen.

1750eko hamarkadan Eulerrek eta Lagrangek Euler-Lagrangeren ekuazioa garatu zuten problema tautokronoaren inguruan ikertuz. 1755an Lagrangek problema ebatzi zuen eta Eulerri soluzioa bidali zion. Biek Lagrangeren metodoa garatu zuten eta mekanikan erabiltzen hasi ziren. Horrek mekanika lagrangearraren formulatzera eraman zuen.

1822an Joseph Fourierrek bero transferentziari buruzko Théorie analytique de la chaleur lana argitaratu zuen. Newtonen hozte legean oinarrituz, elkarren ondoko bi molekulen arteko bero transferentzia euren arteko tenperatura-diferentzia txikiarekiko proportzionala dela arrazoitzeko. Liburuan eroapen bidezko bero-transferentziaren ekuazioa proposatu zuen. Ekuazio diferentzial partzial hori fisika matematikoko funtsezko ekuazioetako bat da.

Definizioak

Ekuazio diferentzialetan ordenaz eta mailaz hitz egiten da.

Ordena

Ekuazio diferentzialaren ordena ekuazio horretan aldi gehiagotan deribatu den terminoak duen ordena da.^[1]^[5] Adibideak:

Lehen ordenako ekuazio diferentziala: $y'+y(x)=f(x)$
Bigarren ordenako ekuazio diferentziala: $y''+4y=0$
Hirugarren ordenako ekuazio diferentziala: $xy'''-2xy''+4y'=0$

Maila

Ekuazio diferentzialaren maila ekuazio horretako ordena goreneko deribatuaren berretzailea da.^[1]^[5]