Ekuacione Diferenciale

Ekuacionet diferenciale u zbuluan me shpikjen e analizës matematike nga Njutoni dhe Lajbnici . Në kapitullin 2 të veprës së tij të vitit 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum ^[1] Isak Njutoni renditi tre lloje ekuacionesh diferenciale:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

Në të gjitha këto raste, ${\displaystyle y}$ është një funksion i panjohur i ${\displaystyle x}$ (ose i ${\displaystyle x_{1}}$ dhe ${\displaystyle x_{2}}$ ), dhe ${\displaystyle f}$ është një funksion i dhënë.

Jakob Bernuli propozoi ekuacionin diferencial të Bernulit në 1695. ^[2] Ky është një ekuacion i zakonshëm diferencial i trajtës:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

për të cilin vitin e ardhshëm Lajbnici gjeti zgjidhje duke e thjeshtuar. ^[3]

Në mekanikën klasike, lëvizja e një trupi përshkruhet nga vendndodhja dhe shpejtësia e tij me kalimin e kohës. Ligjet e Njutonit lejojnë që këto ndryshore të shprehen në mënyrë dinamike (duke pasur parasysh vendndodhjen, shpejtësinë, nxitimin dhe forcat e ndryshme që veprojnë mbi trup) si një ekuacion diferencial për pozicionin e panjohur të trupit në funksion të kohës.

Një shembull i modelimit të një problemi të botës reale duke përdorur ekuacione diferenciale është përcaktimi i shpejtësisë së një topi që bie, duke marrë parasysh vetëm rëndesën dhe rezistencën e ajrit. Nxitimi i topit drejt tokës është nxitimi për shkak të gravitetit minus ngadalësimin për shkak të rezistencës së ajrit. Graviteti konsiderohet konstant dhe rezistenca e ajrit mund të modelohet si e përpjesshme me shpejtësinë e topit. Kjo do të thotë se nxitimi i topit, i cili është një derivat i shpejtësisë së tij, varet nga shpejtësia (dhe shpejtësia varet nga koha). Gjetja e shpejtësisë në funksion të kohës përfshin zgjidhjen e një ekuacioni diferencial dhe verifikimin e vlefshmërisë së tij.

Rendi i ekuacionit diferencial konsiderohet rendi i derivatit më të lartë në ekuacion. Keshtu qe mund te themi se ka ekuacione te rendit te pare, te rendit te dyte, te rendit te trete e deri te ekuacionet e rendit n. Trajta implicite e ekuacionit te rendit n jepet me ekuacionin :

${\displaystyle F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

Zgjidhje e pergjithshme ose integral i pergjithshem i ekuacionit diferencial te rendit n quhet zgjidhja e cila permban n konstanta te pavarura te cfaredoshme. Zgjidhje partikulare quhet cdo zgjidhje e cila mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme kur konstantave u japim vlera te caktuara. Zgjidhja singulare fitohet kur nuk mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme per vlera te caktuara te konstantave te cfaredoshme.Qe te caktohet nje zgjidhje partikulare e ekuacionit diferencial jepen konditat e ashtuquajtura fillestare.

Shembuj te ekuacioneve diferenciale

Ne kete rast te shembujve, le te jete u e panjohur ne funksion te x, dhe c dhe ω konstante te panjohura.

• Ekuacion johomogjen i zakonshem i rendit te parë me koeficientë konstantë :

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• Ekuacion homogjen linear i rendit te dytë  :

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• Ekuacioni homogjen i rendit të dytë me koeficientë konsantë që përshkruan lavjerrësin harmonik:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0}$

• Ekuacioni heterogjen jolinear i rendit të parë:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4}$

• Ekuacioni jolinear i rendit të dytë që përshkruan lavjerrësin me gjatësi L

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0}$

Në grupin tjetër të shëmbujve, funksioni i panjohur, ${\displaystyle u}$ , varet nga dy ndryshore ${\displaystyle x{\text{ ose }}t}$ por ndonjëherë edhe ${\displaystyle x}$ ose ${\displaystyle y}$

• Ekuacioni me derivate të pjesshme linear homogjen i rendit të parë

${\displaystyle {\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}+t{\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}=0}$

• Ekuacioni i Laplasit (linear, homogjen, i rendit të dytë dhe me koeficientë konstantë)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial {y}^{2}}}=0}$

Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale nuk është si zgjidhja e ekuacioneve algjebrike . Jo vetëm që zgjidhjet e tyre janë shpesh të paqarta, por nëse zgjidhjet janë unike ose ekzistojnë janë gjithashtu subjekte interesi.

Shumë ligje te njohura nga fizika dhe kimia mund të formulohen me anen e ekuacioneve diferenciale. Ne biologji dhe ekonomi me anën e ekuacioneve diferenciale mund te shqyrtohet kompleksiteti i sistemeve te ndryshme.

• ExpressionsinBar
• Maple:^[4] dsolve
• SageMath^[5]
• Xcas:^[6] desolve(y'=k*y,y)

Biologji

• Verhulst equation – rritja biologjike e populacionit
• von Bertalanffy model – rritja biologjike e populacionit
• Lotka–Volterra equations – dinamika e populacioni dinamik
• Replicator dynamics – e gjetur ne biologjine teorike
• Hodgkin–Huxley model – potencialet neurale

Ekonomi

• The Black–Scholes PDE
• Exogenous growth model
• Malthusian growth model
• The Vidale–Wolfe advertising model

• Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)