Krzywa Lissajous
Krzywa Lissajous, wym. [lisaʒu], figury Lissajous bądź Bowditcha – krzywa parametryczna wykreślona przez punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach[1].
Dana jest równaniem parametrycznym:
Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1799, oraz Jules’a Antoine’a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami.
Rodzaje
Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg:
oraz odcinek:
Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy jest liczbą wymierną.
Występowanie
Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru ) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy uzyskuje się efekt „obracającej się monety”.
Inną metodą jest wykorzystanie wahadła o specjalnej konstrukcji. Wahadło takie posiada dwie różne efektywne długości (w prostopadłych do siebie płaszczyznach), więc generuje drgania złożone[2][3].
Krzywe Lissajous są także czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).
Przykłady
Poniżej zamieszczono przykłady krzywych[4] Lissajous o parametrach – nieparzyste, – parzyste,
- a = 1, b = 2
- a = 3, b = 2
- a = 3, b = 4
- a = 5, b = 4
- a = 5, b = 6
- a = 9, b = 8
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- Josep Sales, Francesc Banyuls: Niebezpieczne krzywe. Elipsy, hiperbole i inne geometryczne cuda. Przełożyła Hanna Jezierska. Barcelona: RBA, 2012, s. 109–112, seria: Świar jest matematyczny. ISBN 978-84-473-7545-5.
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Lissajous Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).