Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego
Macierze hermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby rzeczywiste a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.
Macierze hermitowskie wymiaru mają ogólną postać
gdzie – sprzężenia zespolone liczb
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.
Macierze hermitowskie 2 × 2
– mają ogólną postać
gdzie:
– sprzężenie zespolone liczby
Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.
Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.
Własności
Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
Dowód: Niech będzie macierzą hermitowską, a jej wartością własną. Pokażemy, że nie posiada wektorów głównych drugiego rzędu. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. Wtedy: zatem Skoro jest hermitowska, a – rzeczywista, z powyższego wynika, że lub równoważnie Ostatecznie czyli jest wektorem własnym, co przeczy założeniu, że jest wektorem głównym drugiego rzędu. W bazie Jordana macierzy występują zatem wyłącznie jej wektory własne.
Macierz hermitowska jest unitarnie podobna do macierzy diagonalnej rzeczywistej, tj. dla hermitowskiej macierzy istnieją rzeczywista diagonalna macierz oraz unitarna macierz takie że
Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.
Formy hermitowskie
Formę na zespolonej przestrzeni liniowej nazywa się hermitowską jeżeli
Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli jest -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór
definiuje formę hermitowską w przestrzeni (symbol oznacza postać kolumnową wektora poziomego ).