Stała Kaprekara

Stała Kaprekara wynosi 6174 i ma właściwość, którą odkrył hinduski matematyk Dattathreya Ramachandra Kaprekar w 1949 roku.

Kaprekar zaproponował algorytm:

Niech liczbą badaną będzie dowolna liczba czterocyfrowa, w której przynajmniej dwie cyfry są różne.
Utwórz nową liczbę czterocyfrową układając cyfry liczby badanej w porządku malejącym.
Utwórz nową liczbę czterocyfrową układając cyfry liczby badanej w porządku rosnącym.
Odejmij liczbę z punktu 3 od liczby z punktu 2. Ta różnica niech będzie nową liczbą badaną.
Wróć do punktu 2.

Najpóźniej po 7 iteracjach badaną liczbą staje się 6174 i nie zmienia się ona, ponieważ 7641 - 1467 = 6174.

Przykład wyznaczenia stałej

Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 4527.

7542 - 2457 = 5085
8550 - 0558 = 7992
9972 - 2799 = 7173
7731 - 1377 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174

Liczby dwu-, trzy-, pięciocyfrowe itd.

Wśród liczb trzycyfrowych istnieje liczba o podobnej właściwości, wynosi ona 495. Zastosowanie algorytmu dla liczb sześciocyfrowych prowadzi do jednej z dwóch liczb: 549945 lub 631764. Z kolei w przypadku liczb dwucyfrowych zawsze wpadnie się w cykl 09→81→63→27→45→09, a w przypadku pięciocyfrowych w jeden z trzech cyklów.

Liczba cyfr	Powtarzająca się liczba badana po dostatecznie wielu iteracjach
2	cykl
3	495
4	6174
5	cykl
6	549945 lub 631764
7	cykl
8	63317664 lub 97508421
9	554999445 lub 864197532
10	6333176664, 9753086421 lub 9975084201

Bibliografia

Yutaka Nishiyama: Mysterious number 6174. Plus magazine, 2006-03-01. [dostęp 2013-10-09]. (ang.).