Equação diferencial parcial

Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave ${\displaystyle u(x,y):[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ satisfazendo:${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=1{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=0{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)}$

${\displaystyle u(x,y)=1{\hbox{ em }}\{x=0\}\times [0,1]}$

que admite solução ${\displaystyle u(x,y)=x+1}$

O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte:${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+v(t){\frac {\partial u}{\partial x}}=0,t>0}$ ${\displaystyle u(x,t)=f(x),~t=0}$

onde ${\displaystyle f(x)}$ é uma função classe ${\displaystyle C^{1}}$ e

${\displaystyle v(t)}$ é uma função contínua dada e ${\displaystyle u(x,t)}$ é a incógnita.

A solução desta equação é dada por:${\displaystyle u(x,t)=f\left(x+\int _{0}^{t}v(\tau )d\tau \right),t>0}$ .

Existem muitas maneiras de expressar as EDPs, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes.

Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\partial _{t}u=u_{t}=u'}$ .

Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais.

Se ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ , onde ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ então também são usadas as notações por operadores:

${\displaystyle \nabla u=\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)}$ : Gradiente

${\displaystyle \nabla ^{2}u=\triangle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}}$ : Laplaciano

Assim, a equação ${\displaystyle T_{t}+\mathbf {v} \cdot \left(\nabla T\right)=\triangle T}$ , onde

${\displaystyle \mathbf {v} }$ é um campo de vetores dado em ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ significa:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x_{i}^{2}}}}$

Em problemas envolvendo fluxo de fluidos, é costume definir a derivada material:

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot (\nabla u)}$ onde

${\displaystyle \mathbf {v} }$ é campo de velocidades do fluido.

Quanto à ordem

A ordem de uma equação diferencial parcial será dada pela ordem da mais alta derivada encontrada na equação:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+5{\frac {\partial u}{\partial y}}+3u=0}$ EDP de segunda ordem

Quanto à linearidade

Uma EDP linear de 2ª ordem, com 2 variáveis independentes, tem a forma:

${\displaystyle a(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2b(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+d(x,y){\frac {\partial u}{\partial x}}+e(x,y){\frac {\partial u}{\partial y}}+f(x,y)u=\delta (x,y).\quad \quad (1)}$

Exemplos

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$ EDP linear (Equação da difusão linear)

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

EDP linear (Equação da convecção linear)

${\displaystyle (1-u){\frac {\partial u}{\partial x}}+2u=e^{y}}$ EDP não linear devido ao termo não linear (1-u) dependente de u

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+\cos {u}=0}$ EDP não linear devido à função não linear cos(u)

Quanto à homogeneidade

Se na equação (1), ${\displaystyle \delta (x,y)=0}$ , a EDP é homogênea.

As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas.Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como^[1]:

${\displaystyle au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g}$

na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0}$ .

Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:

• EDPs hiperbólicas: ${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$ , raízes reais e distintas.
• EDPs parabólicas: ${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$ , raízes reais e idênticas.
• EDPs elípticas: ${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$ , raízes conjugadas complexas.

A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:

Nome	Classificação	Equação
Equação de Laplace	elíptica	${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0}$
Equação de Poisson	elíptica	${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=c}$
Equação de Fourier	parabólica	${\displaystyle \alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{t}=0}$
Equação da onda	hiperbólica	${\displaystyle c^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{tt}=0}$

Equação de Poisson

A equação de Poisson descreve o potencial elétrico em eletrostática. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da equação do calor.

${\displaystyle \Delta u=f(x)}$ .

Equação do calor

Se ${\displaystyle T(t,x)}$ representa a temperatura num instante ${\displaystyle t}$ , na posição ${\displaystyle x}$ sobre uma barra, a equação de transferência de calor em uma dimensão é:

${\displaystyle {\partial T \over \partial t}=a{\partial ^{2}{T} \over \partial {x^{2}}}}$

onde ${\displaystyle a}$ é uma constante. A função ${\displaystyle T}$ é a variável dependente, e ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle x}$ são as variáveis independentes.

Equação da onda

Uma função de onda, em duas dimensões, é uma função ${\displaystyle f(x,y,t)}$ solução da equação

${\displaystyle {\partial ^{2}{f} \over \partial {t^{2}}}=v^{2}{\Bigg (}{\partial ^{2}{f} \over \partial {x^{2}}}+{\partial ^{2}{f} \over \partial {y^{2}}}{\Bigg )}}$

onde ${\displaystyle v}$ é uma constante (velocidade de propagação). Neste caso, existem 3 variáveis independentes, nomeadamente, as duas coordenadas espaciais ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ , e o tempo ${\displaystyle t}$ .

Equação de Laplace

O potencial eletrostático ${\displaystyle V(x,y,z)}$ , numa região onde não existam cargas, verifica a equação:

${\displaystyle {\partial ^{2}{V} \over \partial {x^{2}}}+{\partial ^{2}{V} \over \partial {y^{2}}}+{\partial ^{2}{V} \over \partial {z^{2}}}=0}$ .

Os exemplos anteriores correspondem todos a equações lineares, nas quais umacombinação linear de soluções é também solução.

Equação de Burgers

A equação de Burgers modela processos convectivos unidimensionais:

${\displaystyle u_{t}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(f(x)u\right)^{2}=f(x,t)}$

As equações de derivadas parciais em que aparece uma única derivada, podem serintegradas facilmente. Consideremos, por exemplo, a equação

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{v}}{\partial {x^{2}}}}=3y}$

como a segunda derivada em ordem a ${\displaystyle x}$ é igual à derivada da primeira derivadaparcial em ordem a ${\displaystyle x}$ , portanto, a derivada parcial ${\displaystyle \partial v/\partial x}$ será igual à primitiva de ${\displaystyle 3y}$ , ao longo de um percurso com ${\displaystyle y}$ constante

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial {v} \over \partial x}&=\int 3ydx\qquad (y\;{\text{constante}})\\&=3xy+f(y)\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle f(y)}$ pode ser qualquer função arbitrária que não dependa de${\displaystyle x}$ .

Integrando uma segunda vez, com ${\displaystyle y}$ constante, obtemos a função ${\displaystyle v(x,y)}$

${\displaystyle v={\frac {3}{2}}yx^{2}+xf(y)+g(y)}$ .

Esta solução é bastante geral, pois depende de duas funções arbitrárias ${\displaystyle f}$ e${\displaystyle g}$ . Para obter uma solução única, será necessário saber algumas condiçõesfronteira. As condições fronteira são tão importantes quanto a equaçãodiferencial para determinar a forma da solução, já que com diferentescondições fronteira é possível obter soluções muito diversas.

As equações de derivadas parciais lineares com condições iniciais, podem serresolvidas por meio da transformada de Laplace. As condições iniciais (navariável ${\displaystyle t}$ ) para uma equação de ordem ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle t}$ , consistem nos valores da função e das suas primeiras ${\displaystyle n-1}$ derivadas no instante ${\displaystyle t=0}$ .^[2] Se, por exemplo, a solução da equação for uma função de duas variáveis, ${\displaystyle v(x,t)}$ , e a equação for de segunda ordem em ${\displaystyle t}$ , as condições iniciais serão

${\displaystyle {\begin{aligned}v(x,0)&=&f(x)\\{\partial v \over \partial t}(x,0)&=&g(x)\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ são duas funções de ${\displaystyle x}$ dadas. A transformada de Laplace de ${\displaystyle v(x,t)}$ será uma função ${\displaystyle {\overline {v}}(x,s)}$ , definida por meio do seguinte integral

${\displaystyle {\overline {v}}(x,s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}v(x,t)dx}$ .

As duas condições fronteira permitem calcular as transformadas das duasprimeiras derivadas, usando a propriedade da transformada da derivada; oresultado obtido é

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial v \over \partial t}{\Big \}}=s{\overline {v}}(x,s)-f(x)\\&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial ^{2}{v} \over \partial {t}}{\Big \}}=s^{2}{\overline {v}}(x,s)-sf(x)-g(x)\end{aligned}}}$

Como ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle t}$ são variáveis independentes, e como a transformada de Laplace foi definida em ordem a ${\displaystyle t}$ , as ordem entre as derivadas em ${\displaystyle x}$ ea transformada de Laplace são independentes; por exemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial v \over \partial x}{\Big \}}={\partial \over \partial x}{\mathcal {L}}{\big \{}v(x,t){\big \}}={d{\overline {v}} \over dx}\\&{\mathcal {L}}{\Big \{}{\partial ^{2}{v} \over \partial x^{2}}{\Big \}}{\mathcal {L}}{\big \{}v(x,t){\big \}}={d{\overline {v}} \over dx}\end{aligned}}}$

Separação de variáveis

Equações diferenciais parciais (EDP`s) podem ser reduzidas a sistemas de equações diferenciais pela importante técnica de separação de variáveis. Essa técnica se baseia em uma característica das soluções para equações diferenciais: se é possível encontrar qualquer solução que resolva a equação e satisfaz as condições de borda, então é a solução (isso também se aplica a equações ordinárias). Nós assumimos como hipótese que a dependência de uma solução nos parâmetros de espaço e tempo podem ser escritas como o produto de termos que dependem de apenas um único parâmetro, e ver se isso resolve o problema.

No método de separação de variáveis, é possível reduzir EDP para uma EDP de menos variáveis, na qual uma EDO possui apenas uma.

Isso é possível para EDP`s simples, que são chamadas de equações separáveis, e o domínio é geralmente um retângulo (como produto de intervalos). Equações separáveis correspondem a matrizes diagonais - pensar que "o valor fixado para x" como uma coordenada, cada coordenada pode ser entendida separadamente.

Isso generaliza o método das características, e também usa transformadas integrais.

Método das características

Em casos especiais, é possível descobrir curvas características nas quais a equação é reduzida para uma EDO, - mudando as coordenadas no domínio para estreitar as curvas permite uma separação de variáveis chamada de métodos das características.

Generalmente é possível encontrar superfícies características.

Transformada Integral

Uma transformada integral pode transformar uma EQP em uma mais simples, em particular, uma EQP separável. Isso corresponde a diagonalizar o operador.

Um exemplo importante disso é a análise de Fourier, que diagonaliza a equação do calor usando autoespaços de ondas senoidais.

Se o domínio é finito ou periódico, uma infinita soma de soluções como uma série de Fourier é apropriada, mas uma integral de soluções como a transformada de Fourier geralmente requer domínio infinito.

Mudança de variáveis

Geralmente uma EDP pode ser reduzida a uma forma mais simples de soluções conhecidas por uma mudança de variáveis adequada. Por exemplo, a EDP Black-Scholes

${\displaystyle {\partial V \over \partial t}+{1 \over 2}\sigma ^{2}S^{2}{\partial ^{2}V \over \partial S^{2}}+rS{\partial V \over \partial S}-rV=0}$

é redutível à equação de calor

${\displaystyle {\partial u \over \partial \tau }={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}$

pela mudança de variáveis

${\displaystyle V(S,t)=Kv(x,\tau ),}$

${\displaystyle x=ln({S \over K}),}$

${\displaystyle \tau ={1 \over 2}\sigma ^{2}(T-t),}$

${\displaystyle v(x,\tau )=exp(-\alpha x-\beta x)u(x,\tau ).}$

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli