আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ

অবিচ্ছিন্ন চলকের সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার প্রকাশের সাথে আংশিক অন্তরক সমীকরণ জড়িত। একটি অনমনীয় বস্তুর অবস্থানকেছয়টি পরামিতি দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়^[১], তবে তরলটির কনফিগারেশন বিভিন্ন পরামিতির ক্রমাগত বিতরণ যেমন তাপমাত্রা, চাপ ইত্যাদি দ্বারা প্রদত্ত হয়। অনমনীয় বস্তুর গতিশীলতা সসীম মাত্রার কনফিগারেশন স্থানে জায়গা করে নেয়। তরলের গতি অসীম মাত্রার কনফিগারেশনের মধ্যে থাকে। এই পার্থক্যই সাধারণ অন্তরক সমীকরণের সমাধানের চেয়ে আংশিক অন্তরক সমীকরণের সমাধান নির্ণয়কে কঠিন করে তোলে যদিও রৈখিক সমস্যাসমূহের অনেক সহজ সমাধান রয়েছে। ক্লাসিক ডোমেইন যেখানে আংশিক অন্তরক সমীকরণ ব্যবহৃত হয়, সেটির মধ্যে শব্দ, তরল গতিবিদ্যা, ইলেক্ট্রোডায়নামিক্স এবং তাপ স্থানান্তর প্রভৃতি অন্তর্ভুক্ত। ${\displaystyle u(x_{1},\cdots ,x_{n})}$ ফাংশনের জন্য আংশিক অন্তরক সমীকরণটি হবে,

${\displaystyle f\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots \right)=0.}$

যদি f, u এবং তার অন্তরকসমূহের একটি রৈখিক ফাংশন হয় তাহলে এ ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণকে রৈখিক বলা হয়। রৈখিক আংশিক অন্তরক সমীকরণের সাধারণ উদাহরণগুলির মধ্যে তাপ সমীকরণ, তরঙ্গ সমীকরণ, ল্যাপল্যাস এর সমীকরণ, হেলমোল্টজ সমীকরণ, ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ, এবং পয়সনের সমীকরণ রয়েছে।

একটি সাধারণ আংশিক অন্তরক সমীকরণ হল-

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0.~}$

এই সম্পর্ক বুঝায় যে u(x,y) ফাংশনটি x এর উপর অনির্ভরশীল। যাইহোক, এ সমীকরণ y এর উপর ফাংশনের নির্ভরতা সম্পর্কেও কোন ধারণা দেয় না। তাই এ সমীকরণের সাধারণ সমাধান নিম্নরূপ-

${\displaystyle u(x,y)=f(y),}$

যেখানে f হল y এর ইচ্ছামূলক ফাংশন। একটি সাধারণ অন্তরক সমীকরণ হল-

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)=0,}$

যার একটি সমাধান হল

${\displaystyle u(x)=c,}$

যেখানে c হল ধ্রুবক। এ উদাহরণগুলো থেকে বোঝা যায় যে সাধারণ অন্তরক সমীকরণ এর সমাধানে ধ্রুুুুবক থাকে আর আংশিক অন্তরক সমীকরণ এর সমাধানে ধ্রুুুুবক ফাংশন থাকে। একটি আংশিক অন্তরক সমীকরণ এর সমাধান অনন্য নয়; অতিরিক্ত শর্তাদি দিয়ে একটি সীমানা নির্দিষ্ট করা হয় যেখানে সমাধান সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপর্যুক্ত সহজ উদাহরণে, ফাংশন ${\displaystyle f(y)}$ নির্ধারণ করা যায় যদি u কে ${\displaystyle x=0}$ তে নির্দিষ্ট করা হয়।

যদিও সাধারণ অন্তরক সমীকরণগুলির অস্তিত্ব এবং অনন্যতার সমস্যাটির ক্ষেত্রে পিকার্ড- লিন্ডেলফ তত্ত্বের অত্যন্ত সন্তোষজনক উত্তর রয়েছে, তবে এটি আংশিক অন্তরক সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।কশি- কোওলেভিস্কি তত্ত্বটি বলে যে কোনও আংশিক অন্তরক সমীকরণের জন্য কশি সমস্যার একটি অনন্য বিশ্লেষণাত্মক সমাধান রয়েছে যদি আংশিক অন্তরক সমীকরণের অজানা ফাংশন এবং তার অন্তরকগুলোর সহগ বিশ্লেষণাত্মক হয়। যদিও এই ফলাফলটির সমাধানগুলির অস্তিত্ব ও অনন্যতা নির্দেশ করে,তবুও কিছু রৈখিক অন্তরক সমীকরণ রয়েছে যেগুলোতে সকল ক্রমের অন্তরক রয়েছে। আংশিক অন্তরক সমীকরণগুলোর সমাধান অনন্য হলেও এর মধ্যে অনাকাঙ্ক্ষিত ধর্ম থাকতে পারে। এগুলোর গাণিতিক মডেল দুর্বল সমাধান এ আলোচিত হয়েছে।

প্যাথলজিক্যাল আচরণের একটি উদাহরণ হল লাপ্লাস সমীকরণের কশি সমস্যার অনুক্রম( যা n এর উপর নির্ভর করে)।

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,~}$

যার বাউন্ডারী শর্তগুলো হল-

${\displaystyle u(x,0)=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin(nx)}{n}},}$

যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা। n বেড়ে গেলে x এ y এর সাপেক্ষে u এর অন্তরক 0 অভিমুখী হয়। তখন সমাধানটি হয়-

${\displaystyle u(x,y)={\frac {\sinh(ny)\sin(nx)}{n^{2}}}.}$

y এর অশূন্য মানের জন্য nx যদি π এর পূর্ণসংখ্যার গুণিতক না হয় তাহলে সমাধানটি অসীমের দিকে চলে যায়। যেহেতু সমাধানটি ক্রমাগত সমস্যার তথ্যের উপর নির্ভর করে না, তাই লাপ্লাস সমীকরণের কশি সমস্যটিকে ভ্রমাত্মক সমস্যা বলে। বাস্তবিক প্রয়োগের ক্ষেত্রে এ ধরনের ভ্রমাত্মক সমস্যা কাঙ্ক্ষিত নয়।

আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণে সাবস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করে আংশিক অন্তরকগুলিকে বোঝানো হয়। যেমন-

${\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}}$

${\displaystyle u_{xx}={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}$

${\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right).}$

পদার্থবিজ্ঞানে স্থানিক অন্তরক বুঝাতে ডেল বা নাবলা(∇) ব্যবহার করা হয়। আর ${\displaystyle {\dot {u}}\,{\ddot {u}}\,}$ কে সময়ের অন্তরক বুঝাতে ব্যবহার করা হয়। যেমন- তরঙ্গ সমীকরণকে নিম্নরূপে লেখা হয়।

${\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$  

অথবা,

${\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\Delta u}$  

যেখানে Δ একটি লাপ্লাস অপারেটর।