Partiell differentialekvation

En partiell differentialekvation (PDE) för funktionen ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ är en ekvation av formen

${\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots \right)=0}$

Linjära andra ordningens partiella differentialekvationer

Partiella differentialekvationer kan delas in i linjära och icke-linjära precis som ordinära differentialekvationer. Här presenteras några klassiska exempel på linjära andra ordningens PDE:er.

• Värmeledningsekvationen/diffusionsekvationen (parabolisk)

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

• Vågekvationen (hyperbolisk)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

• Poissons ekvation (elliptisk)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=f(x,y)}$

Specialfallet där ${\displaystyle f(x,y)=0}$ kallas även Laplaces ekvation.

• Euler–Tricomis ekvation används inom studien av transsonisk fart. Ekvationen lyder

${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}.}$

Andra ekvationer

• Dyms ekvation är en ekvation av tredje ordningen uppkallad efter Harry Dym och förekommer i teorin av solitoner. Den är

${\displaystyle u_{t}\,=u^{3}u_{xxx}.}$

Partiella differentialekvationer kan lösas med algebra i vissa enkla fall. Numerisk lösning av differentialekvationer kan utföras med bland annat finita elementmetoden.

Lösningen anpassas efter begynnelsevärden och randvärden.

Många lösningsmetoder bygger på funktionalanalys.

Integraltransformationer

En integraltransformation kan transformera en partiell differentialekvation till en enklare sådan, exempelvis en separabel. Ett viktigt exempel är Fourieranalys som diagonaliserar värmeekvationen genom att använda egenbasen av sinusoidiska vågor.

Variabelbyte

Ibland kan en PDE reduceras till en annan sådan med känd lösning med ett lämpligt variabelbyte. Exempelvis kan Black–Scholes-ekvation

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

kan reduceras till värmeledningsekvationen

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

med variabelbytet

${\displaystyle V(S,t)=Kv(x,\tau )}$

${\displaystyle x=\ln \left({\tfrac {S}{K}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)}$

${\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-\alpha x-\beta \tau )u(x,\tau ).}$

Andra lösningsmetoder

• d'Alemberts metod
• Variabelseparation
• Greenfunktioner

• Dirichletvillkor
• Existens och entydighet
• Laplacetransformen av differentialekvationer
• Mekanisk vågrörelse
• Ordinär differentialekvation
• Randvillkor
• Variabelseparation

• Wikimedia Commons har media som rör Partiell differentialekvation.
  Bilder & media