Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.
де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.
Визначення
Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду
де F — задана дійсна функція точки області Dевклідового простору і дійсних змінних (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне числоm називається порядком рівняння. Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них належать зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.
У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:
Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.
Лінійні рівняння
Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів
Класифікація рівнянь другого порядку
Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:
де — задані в області D дійсні функції точки x.
Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:
У кожній точці квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних , може бути приведена до канонічного виду
де коефіцієнти приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.
Коли всі або всі тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці . Якщо один з коефіцієнтів від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли коефіцієнтів — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа і k_1 однакового знаку такі, що
для всіх . Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області.У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто.Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:
де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: і . Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:
Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:
— Гіперболічне рівняння
— Еліптичне рівняння
— Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).
У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.
Існування і єдиність розв'язку
Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає.Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розв'язок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.
Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:
де n — ціле число. Похідна від функції u по змінній yрівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є
Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.
Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд
де u(t,x) - температура, і — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:
,
де f(x) — довільна функція.
Рівняння коливання струни
Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:
Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції комплексної змінної є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:
Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:
Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.
Граничні умови
Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:
Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:
аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.
Аналітичний розв'язок
Рівняння коливань
Розглянемо задачу про коливання струни довжини . Вважатимемо, що на кінцях струни функція набуває значення нуль:
У початковий момент часу задамо початкові умови:
Представимо розв'язок у вигляді:
Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток одержуємо:
Права частина цього рівняння залежить від , ліва — від , отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через :
Звідси знаходимо рівняння для :
Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при і мають вигляд:
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
Рівняння математичної фізики (практикум) : навч. посіб. / О. І. Бобик, І. О. Бобик, В. В. Литвин ; за наук. ред. В. В. Пасічника ; М-во освіти і науки України. – Л. : Новий Світ-2000, 2010. – 253 с. – (Комп'ютинг). – Бібліогр.: с. 252 (10 назв). – ISBN 978-966-418-122-5
Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .