Ноль

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 4₁₀ и 40₁₀; 4₁₆ и 40₁₆ (нижний индекс означает основание системы счисления).Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи ${\displaystyle 7,70,700.}$

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
• Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

• Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
• Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием ${\displaystyle k}$ число делится на ${\displaystyle k^{n}}$ , если оно оканчивается на ${\displaystyle n}$ нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам^[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль^[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения^[9]:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$  — натуральные числа, включая ноль: ${\displaystyle \{0,1,2,3,4\dots \}}$ .
• ${\displaystyle \mathbb {N^{*}} }$  — натуральные числа без нуля: ${\displaystyle \{1,2,3,4\dots \}}$ .

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1^[10]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0}}$ и т. д.^[8]

Основные свойства нуля

• 0 — целое число.
• На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: ${\displaystyle 0/2=0}$ .
• Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: ${\displaystyle -0}$ , ${\displaystyle +0}$ , однако это не числа в обычном смысле.
• Любое число при сложении с нулём не меняется: ${\displaystyle a+0=0+a=a.}$ При вычитании нуля из любого числа получается то же число^[11]: ${\displaystyle a-0=a}$ .
• Умножение любого числа на ноль даёт ноль^[11]:

${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0.}$

• При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

${\displaystyle 0/a=0}$ при ${\displaystyle a\neq 0.}$

Деление на ноль

• Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=b}$ , то по определению деления формально должно быть ${\displaystyle b\cdot 0=a}$ , в то время как выражение ${\displaystyle b\cdot 0}$ , при любом ${\displaystyle b}$ , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

• Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

• Факториал нуля по соглашению^[12] принят равным единице: ${\displaystyle 0!=1}$ . При таком соглашении тождество ${\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}$ будет верно и при ${\displaystyle n=1.}$
• Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: ${\displaystyle 0^{a}=0}$ при ${\displaystyle a>0}$ . Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
• Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: ${\displaystyle a^{0}=1}$ .
  • Одни авторы считают выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) неопределённым (лишённым смысла)^[13][14][15], другие принимают ${\displaystyle 0^{0}=1}$ .

Связано это с тем, что функция двух переменных ${\displaystyle x^{y}}$ в точке ${\displaystyle \{0,0\}}$ имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю.

В то же время, функция одной переменной ${\displaystyle x^{0}}$ имеет в точке ${\displaystyle x=0}$ устранимый разрыв (она равна единице во всех остальных точках) и может быть доопределена по непрерывности.

См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

Ноль в геометрии

• Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

• При вычислении предела отношения ${\displaystyle (a/b)}$ , где ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle b\rightarrow 0}$ , возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение ${\displaystyle (0/0)}$ , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: ${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$ , ${\displaystyle (0^{0})}$ , ${\displaystyle (\infty ^{0})}$ , ${\displaystyle (0\cdot \infty )}$ .
• Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

• Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,}$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }}$ .
• Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,}$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }}$ .

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ является нулевым элементом кольца квадратных матриц ${\displaystyle M_{n}(R)}$ . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, ${\displaystyle p(x)\equiv 0}$ .

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация^[16] нуль перечёркивать^[en]: ${\displaystyle \emptyset }$ . Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль^[17]. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)^[18][19]. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в ​​центре. Визуальное различие цифры 0 от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀).Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив ${\displaystyle M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.}$ Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике ${\displaystyle -0=+0=0}$ ; то есть ${\displaystyle -0,+0}$ представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту^[20][21].

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)^[22]. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»^[23].Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты»^[24][25].

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и итал. zero, ноль), она попала в Западную Европу^[26].

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой^[27]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)^[28].

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о^[29].

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц^[30].

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

• Отрицательный и положительный ноль
• Ничто