Курт Гедел
Курт Гедел (нем. Kurt Gödel;[2] Брно, 28. април 1906 — Принстон, 14. јануар 1978) је био аустријско-амерички математичар логичар[3] који је 1931. године доказао комплетност првог реда инфинитезималног рачуна функција. Затим је уследио његов рад О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (нем. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme), у којем је доказао прву од своје две знамените теореме некомплетности. Овај рад, датиран 17. новембра 1930, изворно је објављен на немачком, 1931. године у часопису „Монатсхефте фир математик“ (нем. Monatshefte für Mathematik). Он се сматра заједно са Аристотелом и Готлобом Фрегеом једним од најзначајнијих логичара у историји. Гедел је имао огроман утицај на научно и филозофско размишљање у 20. веку, у време када су други као што су Бертранд Расел,[4] Алфред Норт Вајтед,[4] и Дејвид Хилберт користили логику и теорију скупова да истражују основе математике, надовезујући се на раније радове попут Ричарда Дедекинда, Георга Кантора и Фрегеа.
| Курт Гедел | |
|---|---|
 Курт Гедел, 1906—1978 | |
| Лични подаци | |
| Датум рођења | 28. април 1906. |
| Место рођења | Брно, Аустроугарска |
| Датум смрти | 14. јануар 1978. (71 год.) |
| Место смрти | Принстон, САД |
| Образовање | Универзитет у Бечу |
| Научни рад | |
| Поље | математика |
| Награде | |
Геделова открића у основама математике довела су до доказа Геделове теореме о потпуности 1929. године у склопу његове дисертације за стицање доктората на Универзитету у Бечу, и објављивања две Геделове теореме о непотпуности две године касније, 1931. године. Теорема о непотпуности постулира да за било који ω-конзистентан рекурзивни аксиоматски систем довољно моћан да опише аритметику природних бројева (на пример, Пеано аритметика), постоје истините тврдње о природним бројевима које се не могу доказати нити оповргнути из аксиома.[5] Да би то доказао, Гедел је развио технику која је сада позната као Геделово нумерисање, која кодира формалне изразе као природне бројеве. Друга теорема о непотпуности, која следи из прве, каже да систем не може да докаже сопствену доследност.[6]
Године 1938. Гедел је показао да се Канторова хипотеза континуума не може оповргнути унутар стандардне Цермело—Френкел теорије скупова, чак ни ако јој се дода аксиома избора. Амерички математичар Пол Коен је 1963. године шокирао математичку заједницу доказавши да се хипотеза континуума не може ни доказати унутар ZFC.
Његов допринос на пољу математике, искористио је Даглас Хофштатер за приказивање своје филозофије у књизи „Гедел, Есхер, Бах - вечна златна плетеница“.
Теорема непотпуности
| „Достигнуће Курта Гедела у модерној логици је сингуларно и монументално — заиста, оно је више од споменика, то је међаш који ће остати видљив далеко у простору и времену... Природа и могућности логике су сигурно потпуно промењене Геделовим достигнућем.“ —Џон фон Нојман[7] |
Године 1931, док је још боравио у Бечу, Гедел је објавио своје теореме о непотпуности у раду О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (нем. Uber formal unentscheidbare Sätze der 'Principia Mathematica' und verwandter Systeme). У том раду је доказао да за сваки израчунљив аксиоматски систем који је довољно снажан да опише аритметику природних бројева (на пример Пеанове аксиоме или Зермело-Френкел теорија скупова са аксиомом избора), важи:
- ако је систем конзистентан, он не може бити потпун.
- конзистентност аксиома не може бити доказана унутар система.
Ове теореме су окончале пола века дуге покушаје да се пронађе скуп аксиома довољних за заснивање целокупне математике, који су почели радом Фрегеа а кулминирали у делу Principia Mathematica Расела и Вајтхеда и Хилбертовим формализмом.
Основна идеја која лежи у срцу теореме о непотпуности је прилично једноставна. Гедел је у суштини конструисао формулу која тврди да је недоказива у датом формалном систему. Ако би била доказива, онда би била нетачна, што представља контрадикцију идеји да су у конзистентном систему доказиви искази увек тачни.Стога ће увек постојати бар један истинит али недоказив исказ.[3]
Библиографија
Види још
Референце
Литература
Додатна литература
Спољашње везе
- Weisstein, Eric W. (ур.). „Gödel, Kurt (1906–1978)”. ScienceWorld.
- Kennedy, Juliette. „Kurt Gödel”. Ур.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Time Bandits: an article about the relationship between Gödel and Einstein by Jim Holt
- "Gödel and the limits of logic" by John W Dawson Jr. (June 2006)
- Notices of the AMS, April 2006,. „Notices :: Issue Table of Contents”. 53 (4). април 2006. Kurt Gödel Centenary Issue
- Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel
- "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: A Talk with Rebecca Goldstein on Kurt Gödel.
- It's Not All In The Numbers: Gregory Chaitin Explains Gödel's Mathematical Complexities.
- Gödel photo gallery.
- Курт Гедел на сајту Find a Grave (језик: енглески)
- National Academy of Sciences Biographical Memoir
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Курт Гедел”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
