สมการเค็พเพลอร์

ในหนังสือ อัสโตรโนเมีย โนวา (ละติน: Astronomia nova, ดาราศาสตร์ใหม่) ในปี ค.ศ. 1609 โยฮันเนิส เค็พเพลอร์ได้อธิบายถึงสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อว่า กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเค็พเพลอร์ โดยกฎข้อที่หนึ่ง "ดาวเคราะห์โคจรด้วยวงโคจรวงรีโดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง" และกฎข้อที่สอง (กฎพื้นที่กวาดคงที่) ได้ถูกอธิบายไว้^[3] อย่างไรก็ตาม เนื่องจากในยุคสมัยของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีแคลคูลัส การอธิบายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นในทางเรขาคณิตเป็นหลัก โดยตัวเค็พเพลอร์เองได้เขียนอธิบายเป็นคำพูด ไม่ใช่เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ แต่หากเขียนเป็นสมการก็จะได้แบบนี้ (ดูรูปทางขวาประกอบ)^[4]

${\displaystyle t\propto }$ สามเหลี่ยม KHN + เซกเตอร์ KHA ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(E-e\sin E)}$

โดยที่ ${\displaystyle t}$ คือเวลานับจากที่ดาวเคราะห์โคจรผ่านจุดใกล้, ${\displaystyle e}$ คือความเยื้องศูนย์กลาง และ ${\displaystyle E}$ คือมุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง

ต่อมาสูตรนี้ถูกเขียนใหม่ในภายหลังโดยเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์^[4] โดยอ็อยเลอร์ได้แสดงได้โดยใช้คาบการโคจร T เขียนเป็น

${\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {E-e\sin E}{2\pi }}}$

หรือใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ${\displaystyle n=2\pi /T}$ แล้วแสดงด้วยค่าที่เรียกว่ามุมกวาดเฉลี่ย ซึ่งนิยามโดย ${\displaystyle M=nt}$ เขียนสมการใหม่ได้ในรูป^[4]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

ซึ่งสมการในรูปแบบนี้เองที่ได้กลายมาเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปในชื่อว่า สมการเค็พเพลอร์^[4][2]

ในยุคปัจจุบันเราสามารถระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลาได้โดยการแก้สมการการเคลื่อนที่ด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ในยุคของเค็พเพลอร์นั้นยังไม่มีวิธีการแบบนั้น รวมถึงยังไม่มีการค้นพบกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันด้วย ดังนั้นในการระบุตำแหน่งของดาวเคราะห์ในแต่ละช่วงเวลานั้น จึงต้องทำโดยเริ่มจากกำหนดรูปร่างของวงโคจรวงรี (กล่าวคือตัวแปร ${\displaystyle e}$ และ ${\displaystyle l}$ ของระบบพิกัดเชิงขั้วของวงรี ${\displaystyle r=l/(1+e\cos \theta )}$ ) แล้วก็แก้สมการของเค็พเพลอร์ นั่นคือเมื่อได้ค่ารู้ค่า ${\displaystyle M}$ และ ${\displaystyle e}$ เราต้องแก้หาว่า ${\displaystyle E}$ สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ ${\displaystyle M}$ และ ${\displaystyle e}$ ได้อย่างไร อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการนี้เป็นสมการอดิศัย จึงต้องใช้เทคนิคที่มีความซับซ้อนในการหาผลเฉลย^[2]

วิธีแก้สมการเค็พเพลอร์ที่เป็นที่รู้จักดีมีอยู่ 2 วิธี โดยวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ และอีกวิธีคือการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ เราสามารถเขียนสมการเค็พเพลอร์ในรูปของอนุกรมกำลังได้เป็น^[5][4]

${\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots }$

โดยจะใช้ได้ดีเมื่อ ${\displaystyle e}$ มีขนาดเล็ก

ส่วนวิธีการแสดงด้วยฟังก์ชันเบ็สเซิลนั้นใช้ได้ดีแม้ในกรณีที่ ${\displaystyle e}$ ไม่ได้มีขนาดเล็ก ทำโดยแจกแจงเป็นอนุกรมฟูรีเย ซึ่งผลสุดท้ายแล้วจะได้ว่า

${\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM}$

โดยในที่นี้ ${\displaystyle J_{n}}$ คือฟังก์ชันเบ็สเซิลอันดับที่ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )d\theta }$