厳密解を求める方法として2つが知られている。1つは、ラグランジュ の定理を用いる方法、もう1つはベッセル関数 を用いる方法である。
ラグランジュの定理による方法 以下の命題が、陰関数のラグランジュの定理(英語版 ) である[4] [6] 。
ラグランジュの定理 ― 1点
a を囲む単一閉曲線
C および
C で囲まれた領域を
D とし、領域
D で正則な関数
g (
z ) を考える。また、
z の関数
| z − a | / g ( z ) {\displaystyle |z-a|/g(z)} の
C 上の最小値を
ρ {\displaystyle \rho } とする。
| z | < ρ {\displaystyle |z|<\rho } であれば、
z = a + ζ g ( z ) {\displaystyle z=a+\zeta g(z)} を満足する
z が
D 内でただ1つ定まり、それを
z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} と書くと、
z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} は
| ζ | < ρ {\displaystyle |\zeta |<\rho } で
ζ {\displaystyle \zeta } の正則関数である。このとき、
D 内で正則な関数
f (
z ) に対して、
f ( z ) = f ( a ) + ∑ n = 1 ∞ ζ n n ! ∂ n − 1 ∂ a n − 1 ( g n ( a ) f ′ ( a ) ) , {\displaystyle f(z)=f(a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial a^{n-1}}}(g^{n}(a)f'(a)),}
が成立する。
ラグランジュの定理は、逆関数 や陰関数 を冪級数 で求める際に使われる[6] 。この定理をケプラーの方程式に適用すると、
E = e sin M + e 2 2 sin 2 M + ⋯ , {\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots ,}
が得られる[4] 。 e {\displaystyle e} が小さいときに適用可能である。
ベッセル関数による展開の方法 もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は e {\displaystyle e} が大きい場合でも適用可能である。
ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている[7] 。
( M , E ) → ( M + 2 π , E + 2 π ) . {\displaystyle (M,E)\rightarrow (M+2\pi ,E+2\pi ).}
また、 E = M + e sin E {\displaystyle E=M+e\sin E} であるから、これを逐次代入すると
e sin E = e sin ( M + e sin E ) = e sin ( M + e sin ( M + e sin E ) ) = ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}e\sin E&=e\sin(M+e\sin E)\\&=e\sin(M+e\sin(M+e\sin E))\\&=\cdots ,\end{aligned}}}
により、 e sin E {\displaystyle e\sin E} は M {\displaystyle M} の周期関数 で、かつ M {\displaystyle M} の奇関数 であることがわかる[8] 。したがって、 e sin E {\displaystyle e\sin E} を M {\displaystyle M} によって以下のようにフーリエ展開 できる[8] 。
e sin E = ∑ n = 1 ∞ A n sin n M . {\displaystyle e\sin E=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nM.}
フーリエ係数 A n {\displaystyle A_{n}} はフーリエ展開の一般論により、
A n = 2 π ∫ 0 π d M e sin E sin n M , {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dMe\sin E\sin nM,}
で与えられる[8] 。上式の右辺は
− 2 n π ∫ d M e sin E d d M cos n M , {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int dMe\sin E{\frac {d}{dM}}\cos nM,}
と変形できるから、部分積分して
− 2 n π [ e sin E cos n M ] M = 0 M = π + 2 n π ∫ 0 π d M e d sin E d M ⋅ cos n M {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}e\sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {ed\sin E}{dM}}\cdot \cos nM}
である[8] 。第1項の表面項は消えることと、第2項に元のケプラーの方程式を代入して、
2 n π ( ∫ 0 π d E cos n M − ∫ 0 π d M cos n M ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\left(\int _{0}^{\pi }dE\cos nM-\int _{0}^{\pi }dM\cos nM\right),}
を得る[8] 。上式の第2項はコサイン関数の周期性により消える。第1項に元のケプラーの方程式を代入すると
2 n π ∫ 0 π d E cos n ( E − e sin E ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dE\cos n(E-e\sin E),}
を得る[8] 。ここで、 n 次のベッセル関数の積分表示の1つ[9]
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π d θ cos ( z sin θ − n θ ) , {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\theta \cos(z\sin \theta -n\theta ),}
を用いると、 2 J n ( n e ) / n {\displaystyle 2J_{n}(ne)/n} に等しいことがわかるので、結局、
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
が厳密解であることがわかる[8] [10] 。
別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。ケプラーの方程式を微分 して[4] 、
d E d M = 1 1 − e cos E = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n M , a n := 1 π ∫ 0 2 π d M cos n M 1 − e cos E = 1 π ∫ 0 2 π d E cos n ( E − e sin E ) = 2 J n ( n e ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE}{dM}}&={\frac {1}{1-e\cos E}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nM,\\a_{n}&:={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dM{\frac {\cos nM}{1-e\cos E}}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dE\cos n(E-e\sin E)=2J_{n}(ne).\end{aligned}}}
ただし、最初の式の2番目の等号では、 E も M も周期関数(周期 2 π {\displaystyle 2\pi } )であることを用いてフーリエ展開した[4] 。よって、積分 すると、
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
となって、同じ結果が得られた[4] 。