希尔伯特的23个问题
1900年列出的23條數學問題
希尔伯特问题（德語：Hilbertsche Probleme）是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
问题解決進度
以下列出希尔伯特的23個問題，各问题的解答状况可参见各问题条目。
| # | 主旨 | 進展 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 第1题 | 连续统假设 | 部分解决 | 1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（无论是否含选择公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。 |
| 第2题 | 算术公理之相容性 | 部分解决 | 庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。 |
| 第3题 | 两四面體有相同体积之证明法 | 已解决 | 答案：否。1900年，希爾伯特的學生馬克斯·登以一反例證明了是不可以的。 |
| 第4题 | 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 | 已解决 | 滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。在對稱距離情況下，問題獲解決。 |
| 第5题 | 所有连续群是否皆为可微群 | 已解决 | 1953年日本數學家山邊英彥证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。 |
| 第6题 | 公理化物理 | 部分解决 | 希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。 |
| 第7题 | 若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那么ab是否超越數 | 已解决 | 答案：是。分別於1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德與德国数学家特奥多尔·施耐德獨立地解決。 |
| 第8题 | 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 | 未解决 | 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。 |
| 第9题 | 任意代数数域的一般互反律 | 部分解决 | 1927年德国的埃米爾·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。 |
| 第10题 | 不定方程可解性 | 已解决 | 答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。 |
| 第11题 | 代数系数之二次形式 | 部分解决 | 有理數的部分由哈塞於1923年解決。 |
| 第12题 | 一般代数数域的阿贝尔扩张 | 未解决 | 埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论已基本解决。一般情况下则尚未解决。 |
| 第13题 | 以二元函數解任意七次方程 | 部分解决 | 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德證明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。 |
| 第14题 | 证明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性 | 已解决 | 答案：否。1962年日本人永田雅宜提出反例。 |
| 第15题 | 舒伯特演算之严格基础 | 部分解决 | 一部分在1938年由范德瓦爾登得到嚴謹的證明。 |
| 第16题 | 代数曲线及表面之拓撲結構 | 未解决 | 此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。 |
| 第17题 | 把有理函數写成平方和分式 | 已解决 | 答案：是。1927年埃米爾·阿廷解决此问题，并提出實封閉域。[2][3] |
| 第18题 | 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 | 已解决 | 1911年比伯巴赫做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。 |
| 第19题 | 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析 | 已解决 | 答案：是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉和约翰·福布斯·纳什分別用不同方法證明。 |
| 第20题 | 所有边值问题是否都有解 | 已解决 | 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。[4] |
| 第21题 | 证明有线性微分方程有給定的單值群（monodromy group） | 已解决 | 此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。 |
| 第22题 | 将解析关系（analytic relations）以自守函数一致化 | 部分解决 | 1904年由保罗·克伯和龐加萊取得部分解決。详见单值化定理。 |
| 第23题 | 變分法的长远发展 | 开放性问题 | 包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。 |
参阅
文獻
- Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1.
- Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1.
- Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. Van Brummelen, Glen (编). Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3.
- Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy.
- Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
- Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958.
- Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter , 编. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9.
- Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740.
- Specific