Праблемы Гільберта
Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.
Спіс праблем
| № | Кароткая фармулёўка | Статус | Вынік | Год рашэння |
|---|---|---|---|---|
| 1-я | Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза) | рэшана[1] | Невырашальная ў ZFC | 1963 |
| 2-я | Несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі. | няма кансэнсуса[2] | Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі | |
| 3-я | Роўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаў | рэшана | Абвергнута | 1900 |
| 4-я | Пералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініямі | вельмі расплыўчатая[3] | Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі | |
| 5-я | Ці ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі? | рэшана | Так | 1953 |
| 6-я | Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі | часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)[4] | ||
| 7-я | Ці з'яўляецца лік  трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?[5] | рэшана | Так | 1935 |
| 8-я | Праблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха) | часткова рэшана[6] | Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха[7][8][9][10]. | |
| 9-я | Доказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым полі | часткова рэшана[11] | Даказана для абелевага выпадку | |
| 10-я | Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў? | рэшана[12] | Няма | 1970 |
| 11-я | Даследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі | часткова рэшана | ||
| 12-я | Распаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці | не рэшана | ||
| 13-я | Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных? | рэшана | Так | 1957 |
| 14-я | Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы[13] | рэшана | Абвергнута | 1959 |
| 15-я | Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта | часткова рэшана | ||
| 16-я | Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў[14] | часткова рэшана[15] | ||
| 17-я | Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў | рэшана | Так | 1927 |
| 18-я |
| рэшана[16][17] |
|
|
| 19-я | Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі? | рэшана | Так | 1957 |
| 20-я | Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні? | рэшана | Так | ? |
| 21-я | Доказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадраміі | рэшана | У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма | ? |
| 22-я | Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый | рэшана | ? | |
| 23-я | Развіццё метадаў варыяцыйнага злічэння | не рэшана |
24-я праблема
- Асноўны артыкул: 24-я праблема Гільберта
Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзе[18].
Гл. таксама
- Праблемы Смэйла
- Праблемы тысячагоддзя
- Адкрытыя матэматычныя праблемы
Зноскі
Літаратура
- Проблемы Гильберта / Сборник под общ. ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. Архівавана 13 лютага 2018.
- Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Архівавана 23 жніўня 2018.
- Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 91-122.
- Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84-99.
- Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. — М.: «Диалектика», 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5. Архівавана 5 сакавіка 2016.
- Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly. — 2003. — № 110 (January). — С. 1-24.
Спасылкі
- Арыгінальны тэкст даклада Гільберта на нямецкай мове (ням.)
- Рускі пераклад даклада Гільберта (уводная частка і заключэнне) (руск.)