Закон радыеактыўнага распаду

У паказаным вышэй матэматычным выразе ${\displaystyle \lambda }$  — пастаянная распаду, якая характарызуе імавернасць радыеактыўнага распаду за адзінку часу і мае размернасць с⁻¹. Знак мінус паказвае на змяншэнне колькасці радыеактыўных ядраў з часам.

Рашэнне гэтага дыферэнцыяльнага ўраўнення мае выгляд:

${\displaystyle ~N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

дзе ${\displaystyle N_{0}}$  — пачатковая колькасць атамаў, гэта значыць лік атамаў для ${\displaystyle t=0.}$

Такім чынам, лік радыеактыўных атамаў памяншаецца з часам па экспанентным законе. Скорасць распаду, гэта значыць лік распадаў ў адзінку часу ${\displaystyle ~\mathrm {I} (t)=-{\frac {dN}{dt}}}$ , таксама падае экспаненцыяльна. Дыферэнцыруючы выраз для залежнасці ліку атамаў ад часу, атрымліваем:

${\displaystyle \mathrm {I} (t)=-{\frac {d}{dt}}(N_{0}e^{-\lambda t})=\lambda N_{0}e^{-\lambda t}=\mathrm {I} _{0}e^{-\lambda t},}$

дзе ${\displaystyle \mathrm {I} _{0}}$  — скорасць распаду ў пачатковы момант часу ${\displaystyle t=0.}$

Такім чынам, залежнасць ад часу колькасці радыеактыўных атамаў, якія не распаліся, і скорасці распаду апісваецца адной і той жа пастаяннай ${\displaystyle \lambda }$ ^[4][5][6][7]

Акрамя канстанты распаду ${\displaystyle \lambda ,}$ радыеактыўны распад характарызуюць яшчэ дзвюма вытворнымі ад яе канстантамі, разгледжанымі ніжэй.

Сярэдні час жыцця

З закона радыеактыўнага распаду можна атрымаць выраз для сярэдняга часу жыцця радыеактыўнага атама. Лік атамаў, у момант часу ${\displaystyle t}$ перанесшых распад у межах інтэрвалу ${\displaystyle dt}$ раўняецца ${\displaystyle -dN,}$ а іх час жыцця ${\displaystyle -tdN.}$

Сярэдні час жыцця атрымліваем інтэграваннем па ўсім перыядзе распаду:

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{N_{0}}}\int _{N_{0}}^{0}tdN=\lambda \int _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Падстаўляючы гэтую велічыню ў экспанентныя часавыя залежнасці для ${\displaystyle N(t)}$ і ${\displaystyle I(t),}$ лёгка бачыць, што за час ${\displaystyle \tau }$ лік радыеактыўных атамаў і актыўнасць узору (колькасць распадаў у секунду) памяншаюцца ў ${\displaystyle e}$ раз^[4].

Перыяд паўраспаду

На практыцы атрымала большае распаўсюджанне іншая часавая характарыстыка — перыяд паўраспаду ${\displaystyle T_{1/2},}$ роўны часу, на працягу якога лік радыеактыўных атамаў або актыўнасць узору памяншаюцца ў 2 разы^[4].

Сувязь гэтай велічыні з пастаяннай распаду можна вывесці з суадносін

${\displaystyle {\frac {N(T_{1/2})}{N_{0}}}=e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2,}$

адкуль:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2\approx 0,693\tau .}$