З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц , які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы . Матрыцы маюць выгляд
σ 1 = ( 0 1 1 0 ) , {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},} σ 2 = ( 0 − i i 0 ) , {\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},} σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) . {\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.} Замест σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} σ x , σ y , σ z . {\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}.}
Часта таксама ўжываюць матрыцу
σ 0 = ( 1 0 0 1 ) , {\displaystyle \sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},} якая супадае з адзінкавай матрыцай .
Матрыцы Паўлі разам з матрыцай σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}}
Эрмітавасць : σ i † = σ i ; {\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};} Роўнасць нулю следу: Tr ( σ i ) = 0 , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3} σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = σ 0 = I , {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,} I = σ 0 {\displaystyle I=\sigma _{0}} адзінкавая матрыца размернасці 2×2.Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.алгебра, народжаная элементамі σ 0 , − i σ x , − i σ y , − i σ z {\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}} ⟨ 1 , i , j , k ⟩ {\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle } Правілы множання матрыц Паўлі
σ 1 σ 2 = i σ 3 , {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},\,\!} σ 3 σ 1 = i σ 2 , {\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},\,\!} σ 2 σ 3 = i σ 1 , {\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},\,\!} σ i σ j = − σ j σ i {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\!} i ≠ j . {\displaystyle i\neq j.\,\!} Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме
σ i σ j = i ε i j k σ k + δ i j ⋅ σ 0 , i , j , k = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3} дзе δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} сімвал Кронекера , а εijk — сімвал Леві-Чывіты.
З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны
[ σ i , σ j ] = 2 i ε i j k σ k , { σ i , σ j } = 2 δ i j ⋅ σ 0 . {\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}} Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.
Камутацыйныя суадносіны матрыц i σ k {\displaystyle i\sigma _{k}\!} i σ k . {\displaystyle i\sigma _{k}\;.} SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.
Зноскі Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М.М .: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 .
дзе 
— адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
, ізаморфныя алгебры кватерніёнаў 
.
для 
,
![{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e92b97f10a6c37ba6f88e8886e09a9831de2f15)
