Nejednakost

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija

Osobina trihotomije kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
  • a < b
  • a = b
  • a > b

Tranzitivnost

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
  • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
  • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
  • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i a − c < b − c
  • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i a − c > b − c

Množenje i dijeljenje

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

• Za sve realne brojeve, a, b, c:
  • Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc
  • Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc

Inverz sabiranja

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b
  • Ako je a < b, tada je −a > −b
  • Ako je a > b, tada je −a < −b

Inverz množenja

Osobine za inverz množenja kažu da je:

• Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
  • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
  • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a₁, a₂, …, a_n, imamo da je H ≤ G ≤ A ≤ Q, gdje je

${\displaystyle H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}}$	(harmonijska sredina),
${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$	(geometrijska sredina),
${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$	(aritmetička sredina),
${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$	(kvadratna sredina).

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

${\displaystyle An(a,w)={\frac {w_{1}a_{1}+...+w_{n}a_{n}}{w_{1}+...+w_{n}}}}$

i geometrijske sredine

${\displaystyle Gn(a,w)=(a_{1}w_{1}a_{2}w_{2}...a_{n}w_{n})^{1/W_{n}}}$

za ${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n})}$ i ${\displaystyle w=(w_{1},...,w_{n})}$ uređene n-torke pozitivnih brojeva i ${\displaystyle W_{n}=w_{1}+...+w_{n}}$ .

Teorem (AG nejednakost)

Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi ${\displaystyle A_{n}(a,w)\geq G_{n}(a,w)}$ . Jednakost se postiže ako i samo ako je ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}$ .

Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).

Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}}$

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

${\displaystyle G_{n}(a)\geq H_{n}(a)}$ Dokaz

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}}$ , ${\displaystyle {\frac {1}{a_{2}}}}$ ...${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}}$ dobijamo

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{a_{1}}}{\frac {1}{a_{2}}}...{\frac {1}{a_{n}}}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq {\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{-1}}}\leq ({\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}})^{-1}}$

${\displaystyle (a_{1}a_{2}...a_{n})^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+...+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}=...={\frac {1}{a_{n}}}}$

Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

${\displaystyle A_{n}(a)\leq K_{n}(a)}$

Dokaz

${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2}+2a-1a-2+2a_{2}a_{3}+...+a_{n-1}a_{n}}$

znamo

${\displaystyle a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\geq 2a_{1}a_{2}}$ za ${\displaystyle \forall a_{1},a_{2}\in R}$

${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+..+(a_{n-1}^{2}+a_{n}^{2})\leq n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}$

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq {\sqrt {n(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+..+a_{n}^{2})}{n}}}}$

Jednakost vrijedi ako i samo ako je ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=...=a_{n}}$

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa a^b, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

Primjeri

• Ako je x > 0, tada je

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,}$

• Ako je x > 0, tada je

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.\,}$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,}$

• Za bilo koja dva različita broj a i b,

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$

• Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je

${\displaystyle (x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,}$

• Ako je x, y, z > 0, tada je

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,}$

• Ako je a, b > 0, tada je

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.\,}$

• Ako je a, b > 0, tada je

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.\,}$

Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a₁, ..., a_n, tada je

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$

(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

• Binarna relacija
• Zagrada za upotrebu znakova < i > kao zagrada
• Fourier-Motzkinova eliminacija
• Nejednačina
• Interval (matematika)
• Djelimično uređen skup
• Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
• Murray S. Klamkin. ""Quickie" inequalities" (PDF). Math Strategies. Arhivirano s originala (PDF), 28. 1. 2004. Pristupljeno 18. 2. 2009.
• Harold Shapiro (missingdate). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. Provjerite vrijednost datuma u parametru: |date= (pomoć)
• "3rd USAMO". Arhivirano s originala, 3. 2. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009.
• "The Starry Sky". Arhivirano s originala, 21. 12. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009. journal zahtijeva |journal= (pomoć)
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.

• interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com
• Solving Nejednakosti
• WebGraphing.com – kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
• Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
• http://e.math.hr/agnejednakost/index.html
• NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA