Ketaksamaan
Dalam matematik, ketaksamaan merujuk kepada suatu hubungan yang tidak bersifat sama nilai antara kedua-dua kenyataan atau nilai matematik.[1] Ini lazim digunakan untuk membandingkan dua nombor dalam garis nombor berdasarkan darjat besar nombor. Ada beberapa simbol lazim yang digunakan untuk mewakili ketaksamaan-ketaksamaan ini:
- a < b bermakna a adalah lebih kecil daripada b.
- a > b bermakna a adalah lebih besar daripada b.
Dalam kedua-dua kes, a tidak sama dengan b. Hubungan ini dikenali sebagai ketaksamaan tegas,[1] yakni a secara tetap lebih besar/kecil daripada b, dan persamaan adalah dikecualikan.
Sebaliknya, ada dua jenis ketaksamaan yang tidak tegas:
- a ≤ b atau a ⩽ b bermakna a adalah lebih kecil atau sama dengan b (yakni nilai terbanyak adalah b atau tidak lebih besar daripada b).
- a ≥ b atau a ⩾ b bermakna a adalah lebih besar atau sama dengan b (yakni nilai terkecil adalah b atau tidak lebih kecil daripada b).
Perhubungan tidak lebih besar daripada juga boleh ditulis sebagai a ≯ b, simbol "lebih besar daripada" beserta tanda palang, "tidak", dan juga bagi tidak lebih kecil daripada; a ≮ b.
Tulisan a ≠ b bermakna a tidak sama dengan b; dan kadangkala disifatkan sebagai ketaksamaan tegas.[2] Ini tidak menyatakan sama ada satu nilai adalah lebih besar mahupun kecil daripada nilai satu lagi.
Dalam kejuruteraan, satu gaya tulisan kurang formal ialah kenyataan "jauh lebih besar/kecil",[3] lazimnya dalam perbezaan beberapa darjah magitud.
- a ≪ b bermakna a adalah jauh lebih kecil daripada b.[4]
- a ≫ b bermakna a adalah jauh lebih besar daripada b.[5]
Ini memberi bayangan bahawa nilai lebih kecil boleh diabaikan tanpa kesan ketara terhadap ketepatan anggaran.
Dalam semua kes di atas, kedua-dua simbol bersifat simetri; sebagai contoh a < b dan b > a adalah kenyataan yang setara.
Sifat-sifat ketaksamaan
Ketaksamaan dikawal oleh sifat di bawah. Semua sifat ini juga dipegang jika semua ketaksamaan tidak ketat (≤ dan ≥) digantikan dengan ketaksamaan ketat sepadannya (< dan >) dan — dalam kes menggunakan fungsi — fungsi monotonik dihadkan kepada fungsi monotonik ketat.
Akas
Hubungan ≤ dan ≥ adalah akas antara satu sama lain, bermakna bagi mana-mana nombor nyata a dan b:
- a ≤ b dan b ≥ a adalah setara.
Transitiviti
Sifat transitif ketaksamaan menyatakan bahawa bagi mana-mana nombor nyata a, b, c:[6]
- Jika a ≤ b dan b ≤ c, maka a ≤ c.
Jika mana-mana premis itu adalah ketaksamaan ketat, maka kesimpulannya juga bersifat ketat:
- Jika a ≤ b dan b < c, maka a < c.
- Jika a < b dan b ≤ c, maka a < c.
Penambahan dan penolakan
Pemalar sepunya c mungkin ditambah atau ditolak daripada kedua-dua belah ketaksamaan.[2] Jadi, bagi mana-mana nombor nyata a, b, c:
- Jika a ≤ b, maka a + c ≤ b + c dan a − c ≤ b − c.
Dalam erti kata lain, hubungan ketaksamaan dikekalkan dalam penambahan (atau penolakan) dan nombor nyata ialah kumpulan tertib di bawah penambahan.
Pendaraban dan pembahagian
Sifat yang berurusan dengan pendaraban dan pembahagian menyatakan bahawa bagi sebarang nombor nyata, a, b dan nombor bukan sifar c:
- Jika a ≤ b dan c > 0, maka ac ≤ bc dan a/c ≤ b /c.
- Jika a ≤ b dan c < 0, maka ac ≥ bc dan a/c ≥ b /c.
Dalam erti kata lain, hubungan ketaksamaan dikekalkan di bawah pendaraban dan pembahagian dengan pemalar positif, tetapi diterbalikkan apabila pemalar negatif terlibat. Secara umum, ini terpakai untuk medan teratur.
Penambahan songsang
Sifat penambahan songsang menyatakan bahawa bagi sebarang nombor nyata a dan b:
- Jika a ≤ b, maka −a ≥ −b.
Darab silang
Jika kedua-dua nombor adalah positif, maka hubungan ketaksamaan antara pendaraban silang adalah bertentangan dengan hubungan antara nombor asal. Lebih khusus lagi, untuk sebarang nombor nyata bukan sifar a dan b yang kedua-duanya positif (atau kedua-duanya negatif):
- Jika a ≤ b, maka 1a ≥ 1b.
Semua kes untuk tanda a dan b juga boleh ditulis dalam notasi berantai, seperti berikut:
- Jika 0 < a ≤ b, maka 1a ≥ 1b > 0.
- Jika a ≤ b < 0, maka 0 > 1a ≥ 1b.
- Jika a < 0 < b, maka 1a < 0 < 1b.