Olikhet

Transitivitet

Olikheter är en transitiv relation, vilket betyder att

• För de reella talen a, b, c:
  • Om a > b och b > c; så a > c
  • Om a < b och b < c; så a < c
  • Om a > b och b = c; så a > c
  • Om a < b och b = c; så a < c

Addition och subtraktion

• För de reella talen a, b, c:
  • Om a < b, så a + c < b + c och a − c < b − c
  • Om a > b, så a + c > b + c och a − c > b − c

Multiplikation och division

• För de reella talen a, b, c:
  • Om c är positivt och a < b, så ac < bc
  • Om c är negativt och a < b, så ac > bc

Additiva inversen

• För de reella talen a, b:
  • Om a < b så −a > −b
  • Om a > b så −a < −b

Multiplikativa inversen

• För de reella talen a, b där de antingen båda är positiva eller båda negativa
  • Om a < b så 1/a > 1/b
  • Om a > b så 1/a < 1/b

• Om antingen a eller b är negativ (men inte båda) så
  • Om a < b så 1/a < 1/b
  • Om a > b så 1/a > 1/b

En "potensolikhet" är en olikhet som innehåller termer av formen a^b där a och b är reella positiva tal eller uttryck som innehåller variabler. Några exempel är följande:

• För alla reella x är

${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.\,}$

• Om x > 0 är

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,}$

• Om x ≥ 1 är

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.\,}$

• Om x, y, z > 0 är

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,}$

• För godtyckliga olika reella tal a och b är

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$

• Om x, y > 0 och 0 < p < 1 är

${\displaystyle (x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,}$

• Om x, y, z > 0 är

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.\,}$

• Om a, b, c > 0 är

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.\,}$

• Om a, b > 0 är

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.\,}$

• Bessels olikhet
• Bernoullis olikhet (inom strömningsmekanik)
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Triangelolikheten
• Termodynamikens andra huvudsats

• Ekvation