Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle 6x-7<5x+3}$ !

${\displaystyle 6x-7<5x+3}$

${\displaystyle 6x-5x<3+7}$

${\displaystyle x<10}$

${\displaystyle HP=\{x|x<10,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}$ !

${\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}$

${\displaystyle -2x-4x\geq -1-5}$

${\displaystyle -6x\geq -6}$ (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

${\displaystyle x\leq 1}$

${\displaystyle HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}}$

Pertidaksamaan Kuadrat

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}$ !

${\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}$

${\displaystyle x^{2}-3x-10>0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-3x-10=0}$

${\displaystyle (x+2)(x-5)=0}$

${\displaystyle x=-2\lor x=5}$

dibuat irisan

${\displaystyle HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}$ !

${\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}$

${\displaystyle x^{2}+x-12\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+x-12=0}$

${\displaystyle (x+4)(x-3)=0}$

${\displaystyle x=-4\lor x=3}$

dibuat irisan

${\displaystyle HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}}$

Pertidaksamaan Irasional

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

${\displaystyle {\sqrt {f(x)}}<{\sqrt {g(x)}}}$ atau ${\displaystyle {\sqrt {f(x)}}>{\sqrt {g(x)}}}$

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ atau ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}$ !

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}$

${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}}$

${\displaystyle x^{2}-4x<10-x}$

${\displaystyle x^{2}-3x-10<0}$

Irisan 1

${\displaystyle x^{2}-3x-10<0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-3x-10=0}$

${\displaystyle (x+2)(x-5)=0}$

${\displaystyle x=-2\lor x=5}$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

${\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-4x=0}$

${\displaystyle x(x-4)=0}$

${\displaystyle x=0\lor x=4}$

Irisan 3

${\displaystyle 10-x\geq 0}$

${\displaystyle x\leq 10}$

gabungkan umum dan syarat

${\displaystyle HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}$ !

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}$

${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}}$

${\displaystyle x^{2}-4\geq 3x+50}$

${\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}$

Irisan 1

${\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-3x-54=0}$

${\displaystyle (x+6)(x-9)=0}$

${\displaystyle x=-6\lor x=9}$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

${\displaystyle x^{2}-4\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-4=0}$

${\displaystyle (x+2)(x-2)=0}$

${\displaystyle x=-2\lor x=2}$

Irisan 3

${\displaystyle 3x+50\geq 0}$

${\displaystyle x\geq -{\frac {50}{3}}}$

gabungkan umum dan syarat

${\displaystyle HP=\{x|{\frac {-50}{3}}\leq x\leq -6\lor x\geq 9,x\in R\}}$

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}*0}$

di mana ${\displaystyle f(x),g(x)}$ adalah fungsi aljabar dengan ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ dan ${\displaystyle *}$ merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}$ !

${\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}$

${\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0}$

${\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}$

${\displaystyle {\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}$

${\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0}$

${\displaystyle -4x+11<0}$

${\displaystyle x<{\frac {11}{4}}}$

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

${\displaystyle x-3\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 3}$

penyebut 2

${\displaystyle x-2\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 2}$

dibuat irisan

${\displaystyle HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}$ !

${\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}$

${\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0}$

${\displaystyle x^{2}+2x-35\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+2x-35=0}$

${\displaystyle (x+7)(x-5)=0}$

${\displaystyle x=-7\lor x=5}$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

${\displaystyle x+17\neq 0}$

${\displaystyle x\neq -17}$

penyebut 2

${\displaystyle x-3\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 3}$

dibuat irisan

${\displaystyle HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}}$

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I

${\displaystyle |f(x)|<k}$ atau ${\displaystyle |f(x)|>k}$

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

${\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<k,&{\mbox{maka penyelesaian}}-k<f(x)<k\\\\|f(x)|>k,&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-k\lor f(x)>k\end{matrix}}\right.}$

Model II

Jika ${\displaystyle |f(x)|<|g(x)|}$ atau ${\displaystyle |f(x)|>|g(x)|}$ maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi ${\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}<0}$ atau ${\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}>0}$ .

Model III

Jika ${\displaystyle a<|f(x)|<b}$ maka menghasilkan ${\displaystyle a<|f(x)|<b}$ dan ${\displaystyle -b<|f(x)|<-a}$ .

begitupula ${\displaystyle g(x)<|f(x)|<h(x)}$ .

Model IV

Jika ${\displaystyle |f(x)|}$ terkurung maka f(x) menghasilkan ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ serta -f(x) menghasilkan ${\displaystyle f(x)<0}$ .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle |x^{2}+x|<12}$ !

${\displaystyle |x^{2}+x|<12}$

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

${\displaystyle -12<x^{2}+x<12}$

untuk ${\displaystyle -12<x^{2}+x}$

${\displaystyle -12<x^{2}+x}$

${\displaystyle x^{2}+x+12>0}$ definit +

untuk ${\displaystyle x^{2}+x<12}$

${\displaystyle x^{2}+x<12}$

${\displaystyle x^{2}+x-12<0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+x-12=0}$

${\displaystyle (x+4)(x-3)<0}$

${\displaystyle x=-4\lor x=3}$

dibuat irisan

${\displaystyle -4<x<3}$

${\displaystyle HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari persamaan ${\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5}$ !

terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

untuk | x^2 - 4x - 12 |

${\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}$

batasan f(x)

${\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-4x-12=0}$

${\displaystyle (x+2)(x-6)=0}$

${\displaystyle x=-2\lor x=6}$

dibuat irisan

${\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}$

batasan -f(x)

${\displaystyle x^{2}-4x-12<0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-4x-12=0}$

${\displaystyle (x+2)(x-6)=0}$

${\displaystyle x=-2\lor x=6}$

dibuat irisan

${\displaystyle -2<x<6}$

untuk | 7 - 6x |

${\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}$

batasan f(x)

${\displaystyle 7-6x\geq 0}$

${\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}$

batasan -f(x)

${\displaystyle 7-6x<0}$

${\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}$

keempat batas-batas akan dibuat irisan

untuk x <= -2

${\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5}$

${\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0}$

${\displaystyle x^{2}+2x-24\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+2x-24=0}$

${\displaystyle (x+6)(x-4)=0}$

${\displaystyle x=-6\lor x=4}$

dibuat irisan

${\displaystyle x\leq -6}$

untuk -2 < x <= 7/6

${\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5}$

${\displaystyle -x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0}$

${\displaystyle x^{2}-10x\leq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-10x=0}$

${\displaystyle x(x-10)=0}$

${\displaystyle x=0\lor x=10}$

dibuat irisan

${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {7}{6}}}$

untuk 7/6 < x < 6

${\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5}$

${\displaystyle -x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0}$

${\displaystyle x^{2}+2x\leq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+2x=0}$

${\displaystyle x(x+2)=0}$

${\displaystyle x=0\lor x=-2}$

dibuat irisan

${\displaystyle \varnothing }$

untuk x >= 6

${\displaystyle x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5}$

${\displaystyle x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0}$

${\displaystyle x^{2}-10x-10\geq 0}$ definit +

${\displaystyle \varnothing }$

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

${\displaystyle HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}$ !

${\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}$

${\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}}$

${\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0}$

${\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0}$

${\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0}$

${\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0}$

${\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0}$

akar dari ${\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0}$

${\displaystyle x^{2}+x+2=0}$ definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

${\displaystyle 10-x\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 10}$

penyebut 2

${\displaystyle x-2\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 2}$

akar dari ${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0}$

${\displaystyle x^{2}+3x-18<0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}+3x-18=0}$

${\displaystyle (x+6)(x-3)=0}$

${\displaystyle x=-6\lor x=3}$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

${\displaystyle 10-x\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 10}$

penyebut 2

${\displaystyle x-2\neq 0}$

${\displaystyle x\neq 2}$

dibuat irisan

nb: * = mempunyai 2 akar

${\displaystyle HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan ${\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}$ !

${\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}$

${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}}$

${\displaystyle x^{2}-4x\geq 3x-10}$

${\displaystyle x^{2}-7x+10\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-7x+10=0}$

${\displaystyle (x-2)(x-5)=0}$

${\displaystyle x=2\lor x=5}$

dibuat irisan

${\displaystyle x\leq 2\lor x\geq 5}$

karena ada syarat akar maka:

akar 1

${\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}$

dibuat harga nol

${\displaystyle x^{2}-4x=0}$

${\displaystyle x(x-4)=0}$

${\displaystyle x=0\lor x=4}$

dibuat irisan

${\displaystyle x\leq 0\lor x\geq 4}$

akar 2

${\displaystyle 3x-10\geq 0}$

${\displaystyle x\geq {\frac {10}{3}}}$

gabungkan umum dan syarat

${\displaystyle HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}}$

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a₁, a₂, …, a_n kita punya H ≤ G ≤ A ≤ Q, dimana

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$	(rata-rata harmonis),
${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$	(rata-rata geometris),
${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$	(rata-rata aritmatika),
${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$	(rata-rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

where ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rⁿ dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk a^b, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh

• Dari bilangan riil x,

${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$

• Bila x > 0 dan p > 0, maka

${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$

Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).

• Bila x > 0, maka

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$

• Bila x > 0, maka

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$

• Bila x, y, z > 0, maka

${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$

• Untuk bilangan riil a dan b ,

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$

• Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka

${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$

• Bila x, y, z > 0, maka

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$

• Bila a, b > 0, maka^[1]

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$

• Bila a, b > 0, maka^[2]

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$

• Bila a, b, c > 0, maka

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$

• Bila a, b > 0, maka

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

• Hubungan biner
• Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
• Inklusi (teori himpunan)
• Inequation
• Interval (matematika)
• Daftar pertidaksamaan
• Daftar pertidaksamaan segitiga
• Himpunan yang dipesan sebagian
• Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

• Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001   
• Murray S. Klamkin. "'Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-10-03. Diakses tanggal 2020-09-27. 
• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format. 
• Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. 
• "3rd USAMO". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-02-03.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (edisi ke-first). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008. 
• Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8. 
• Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5. 

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Inequalities (mathematics).

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
• AoPS Wiki entry about Inequalities