Lankide:Ikermp/Distantzia euklidear

Dimentsio bat

Lerro errealeko bi punturen arteko distantzia koordenatuen zenbakizko diferentziaren balio absolutua da, alegia, haien diferentzia absolutua. Hala, ${\displaystyle p}$  eta ${\displaystyle q}$ lerro errealeko bi puntu badira, bien arteko distantzia hurrengo hau izango da:^[1]

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Formula konplexuagoa, balio bera ematen duena, baina dimentsio handiagoetara errazago orokortzen dena, honako hau da:^[1]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

Formula horrek, karratuari erro karratua aplikatzean, edozein zenbaki positibo aldaketarik gabe uzten du, eta aldiz edozein zenbaki negatiboren ordez bere balio absolutua ematen du.^[1]

Bi dimentsio

Plano euklidearrean, ${\displaystyle p}$  puntuak ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$  koordenatu kartesiarrak baditu; eta ${\displaystyle q}$  puntuak, aldiz, ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ koordenatuak, bi puntu horien arteko distantzia honela kalkulatuko dugu:^[2]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.}$$

Hori, ikus daiteke Pitagorasen teorema ${\displaystyle p}$ -tik ${\displaystyle q}$ -ra doan zuzenkia hipotenusa guisa duen triangelu angeluzuzen batean aplikatzean, alde horizontal eta bertikalekin. Erro karratuaren barruko bi karratuek, alde horizontalaren eta bertikalaren karratuen azalerak ematen dituzte; eta kanpoko erro karratuak hipotenusaren karratuaren azalera hipotenusaren luzera bilakatzen du.^[3]

Koordenatu polarren bidez emandako puntuen arteko distantzia ere kalkula daiteke. ${\displaystyle p}$ -ren koordenatu polarrak ${\displaystyle (r,\theta )}$  eta ${\displaystyle q}$ -ren koordenatu polarrak ${\displaystyle (s,\psi )}$ badira, haien arteko distantzia kosinuaren teorema aplikatuz lortu daiteke:^[2]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Plano konplexuan, ${\displaystyle p}$  eta ${\displaystyle q}$ zenbaki konplexu gisa adierazten direnean, zenbaki erreal gisa adierazitako dimentsio bakarreko puntuen arteko formula bera erabil daiteke, nahiz eta hemen balio absolutuaren zeinuak norma konplexua adierazten duen:^[4]

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Dimentsio handiagoetan

Hiru dimentsiotan, koordenatu kartesiarretan emandako puntuen arteko distantzia hau da:

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

Oro har, ${\displaystyle n}$ -dimentsioko espazio euklidearretan koordenatu kartesiarren bidez emandako puntuen artean hau da distantzia:^[5]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

Distantzia euklidearra era laburragoan adieraz daiteke, bektore euklidearren kenduren norma euklidearraren funtzioan:

$${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

Puntuak ez diren objektuekin

Puntuak ez diren objektu-bikoteen kasuan, distantzia, era sinplean, bi objektuetako edozein punturen arteko distantziarik txikiena dela esan daiteke, nahiz eta puntuetatik multzoetarako orokortze konplexuagoak ere erabili ohi diren, hala nola Hausdorffen distantzia.^[6] Objektu mota desberdinen arteko distantziak kalkulatzeko formulen artean hauek daude:

• Puntu batetik zuzen baterako distantzia, plano euklidearrean.^[7]
• Puntu batetik plano baterako distantzia hiru dimentsioko espazio euklidearrean.^[7]
• Bi zuzenen arteko distantzia hiru dimentsioko espazio euklidearrean.^[8]

Distantzia euklidearra espazio metriko bateko distantziaren adibide prototipikoa da,^[9] eta espazio metriko bat definitzeko propietate guztiak betetzen ditu:^[10]

• Simetrikoa da, hortaz, ${\displaystyle p}$ eta ${\displaystyle q}$ puntu guztietarako, ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$ da. Hau da, bi puntuen arteko distantzia ez dago puntuetatik zein den abiapuntua eta zein helmugaren menpe.^[10]
• Positiboa da; alegia, bi puntu desberdinen arteko distantzia zenbaki positiboa da beti, eta edozein puntutatik norberarekiko distantzia zero izango da.^[10]
• Desberdintza triangeluarraren propietatea betetzen du: edozein hiru puntutarako ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$ eta ${\displaystyle r}$ : ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ . Intuitiboki, ${\displaystyle p}$ -tik ${\displaystyle r}$ -ra, ${\displaystyle q}$ -tik igaroz, bidaiatzea ezin da ${\displaystyle p}$ -tik ${\displaystyle r}$ -ra zuzenean bidaiatzea baino laburragoa izan.^[10]

Beste propietate batek, Ptolomeoren desberdintzak, ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$ , ${\displaystyle r}$ eta ${\displaystyle s}$ lau puntuen arteko distantzia euklidearrak erlazionatzen ditu. Hauxe dio:

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Planoko puntuen kasuan, esan daiteke lauki bakoitzerako laukiaren kontrako aldeetako biderkaduren batura, gutxienez, diagonalen biderkadura bezain zenbaki handia dela. Hala eta guztiz ere, Ptolomeoren desberdintza modu orokorragoan aplikatzen zaie edozein dimentsiotako espazio euklidearretako puntuei, horiek nola kokatuta dauden alde batera utzita.^[11] Espazio euklidearrak ez diren espazio metrikoetako puntuetan, gerta daiteke desberdintza hori egia ez izatea.

Distantzia euklidearraren geometriak, distantzia euklidearraren propietateak aztertzen ditu, hala nola, Ptolomeoren desberdintasuna, eta horren aplikazioa distantzien multzo jakin batzuk espazio euklidear bateko puntuetatik datozen egiaztatzeko.^[12]

Beckman–Quarles-en teoremaren arabera, unitate-distantziak mantentzen dituen plano euklidearraren edo dimentsio handiagoko espazio euklidearraren edozein transformazioak, isometria izan behar du, distantzia guztiak mantenduz.^[13]

Kono bat, distantzia euklidearraren grafikoa planoko jatorritik.

Paraboloide bat, distantzia euklidearraren karratuaren grafikoa planoko jatorritik.

Aplikazio askotan, eta bereziki distantziak konparatzen direnean, komenigarriagoa izan daiteke distantzia euklidearren kalkuluan azken erro karratua alde batera uztea, bi distantziak proportzionalak baitira. Horren ondorioz lortzen dugun balioa distantzia euklidearraren karratua da, eta distantzia euklidearraren karratua deitzen zaio. ^[14]Adibidez, hedapen gutxieneko zuhaitz euklidearra distantzien arteko ordena soilik erabiliz zehaztu daiteke, eta ez haien zenbakizko balioak erabiliz. Distantziaen karratuen konparazioak emaitza bera ematen du, baina erro karratuaren alferrikako kalkulua saihesten du eta zenbakizko doitasunaren arazoak saihesten ditu.^[15] Ekuazio gisa, distantziaren karratua karratuen batura gisa adieraz daiteke:

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Distantziak konparatzeko duen aplikazioaz gain, distantzia euklidearraren karratua garrantzia handikoa da estatistikan, non karratu txikienen erregresioaren metodoan erabiltzen den; hori metodo estandar bat da zenbatespen estatistikoak datuetara egokitzeko, behatutako eta zenbatetsitako balioen arteko distantzien karratuaren batez bestekoa minimizatuz,^[16] eta probabilitate-banaketak alderatzeko dibergentziaren modurik sinpleena da.^[17] Distantzien karratuak batzea, karratu txikien doikuntzan egiten den bezala, batuketa pitagoriko deritzon distantzien (ez-karratuen) arteko eragiketa bati dagokio.^[18] Multzokatze-analisian, distantzia luzeenen eragina indartzeko erabil daitezke distantzien karratuak.^[14]

Distantzia euklidearraren karratuak ez du espazio metriko bat sortzen, ez baitu desberdintza triangeluarra betetzen.^[19] Hala ere, bi punturen funtzio leun eta hertsiki ganbila da, distantzia ez bezala, zeina ez baita leuna (puntu berdinen pareetatik gertu) eta ganbila da, baina ez hertsiki ganbila. Beraz, distantziaren karratua gogokoena da optimizazioaren teorian, analisi ganbila erabiltzeko aukera ematen baitu. Karratua balio ez-negatiboen funtzio monotonoa denez, distantziaren karratua minimizatzea distantzia euklidearra minimizatzearen baliokidea da; beraz, optimizazio-problema baliokidea da bietan, baina errazago ebazten da distantziaren karratua erabiliz.^[20]

Multzo finitu bateko puntu-pareen arteko distantzien karratu guztien bilduma distantzia euklidearraren matrize batean gorde daiteke, eta, forma horretan erabiltzen da distantzien geometrian.^[21]

Matematikako arlo aurreratuagoetan, espazio euklidearra espazio bektorialtzat hartzen denean, bere distantzia norma euklidear deritzon norma bati lotzen zaio, bektore bakoitzak jatorritik duen distantzia bezala definitzen dena. Norma honen propietate garrantzitsuetako bat da, beste norma batzuekin alderatuta, ez dela aldatzen jatorriaren inguruko espazioaren errotazio arbitrarioekin.^[22] Dvoretzkyren teoremaren arabera, bektore-espazio normadun finitu bakoitzak dimentsio handiko azpiespazio bat du, eta bertan norma gutxi gorabehera euklidearra da; norma euklidearra da ezaugarri hori duen norma bakarra.^[23] Hori dimentsio infinituko bektore-espazioetara heda daiteke L² norma edo L² distantzia gisa.^[24] Distantzia euklidearrak espazio euklidearrari espazio topologiko baten egitura ematen dio, topologia euklidearra, bola irekiak (puntu jakin batetik distantzia jakin batera baino txikiagora dauden puntuen azpimultzoak) bere ingurune gisa dituela.^[25]

Beste ohiko distantzia batzuk koordenatu errealeko espazioetan eta funtzio-espazioetan hauek dira:^[26]

• Txebishev-en distantzia (L distantzia): distantzia koordenatuetako distantzien maximo gisa definitzen du.
• Manhattan-en distantzia (L distantzia): distantzia koordenatuetako distantzien batura gisa definitzen du.
• Minkowskiren distantzia (L distantzia): distantzia euklidearra, Manhattanen distantzia eta Txebishev-en distantzia bateratzen dituen orokortzea da.

Hiru dimentsioko gainazalen gaineko puntuetarako, distantzia euklidearra eta distantzia geodesikoa, gainazaleko kurba laburrenaren luzera, bereizi behar dira.

Distantzia euklidiarra, espazio euklidiarreko distantzia da; bi kontzeptuak Euklides aintzinako matematikari greziarragatik izendatzen dira, zeinaren Elementuak geometriako ohiko testu-liburua izan baitzen mende askotan.^[27] Luzeraren eta distantziaren kontzeptuak oso zabalduta daude kultura guztietan, eta K. a. IV. milurtekotik kontserbatzen diren Sumerreko lehen dokumentu burokratiko "protoliterarioetatik" datoz (Euklides baino askoz lehenago).^[28] Gainera, badira haurrek bi kontzeptu horiek abiadura eta denboraren antzeko kontzeptuak baino lehenago garatzen dituztela planteatzen duten hipotesiak.^[29] Baina distantziaren nozioa, bi puntutatik definitutako zenbaki gisa, ez da agertzen Euklidesen Elementuak lanean. Aldiz, Euklidesek modu inplizituan heltzen dio kontzeptu horri, zuzenkien kongruentziaren bidez, zuzenkien luzeren konparazioaren bidez eta proportzionaltasunaren kontzeptuaren bitartez.^[30]

Pitagorasen teorema ere aintzinakoa da, baina René Descartesek 1673an koordenatu kartesiarrak asmatu ondoren, oro har, distantzien neurketarako bakarrik erabili zen. Distantziaren formula 1731n argitaratu zuen lehen aldiz Alexis Clairautek.^[31] Formula hori dela eta, distantzia euklidiarrari distantzia pitagorikoa ere esaten zaio batzuetan.^[32] Lurrazalean distantzia handien neurketa zehatzak, euklidearrak ez direnak, antzinatik kultura askotan ere aztertu ziren arren (geodesiaren historia adibidez), distantzia euklidearra espazio matematikoetan puntuen arteko distantziak neurtzeko modu bakarra izan ez izatearen ideia beranduago iritsi zen, XIX. mendean geometria ez-euklidarraren formulazioarekin.^[33] Hiru dimentsio baino goragoko geometrietarako, norma euklidiarraren eta distantzia euklidiarraren definizioa ere XIX. mendean agertu zen lehen aldiz, Augustin-Louis Cauchyren obran.^[34]

• Geometria