Srinivasa Ramanujan Aiyangar (tamiliksi ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜன் ஐயங்கார் , Cīṉivāca Irāmāṉucaṉ Aiyaṅkār ) (22. joulukuuta 1887 Erode, Tamil Nadu , Intia – 26. huhtikuuta 1920 Madras (nyk. Chennai), Tamil Nadu, Intia) oli intialainen matemaatikko .[1]
Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa, ja tunnetaan lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoistaan. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollisia todistuksia, jotka löydettiin vasta myöhemmin.
Ramanujan julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevä, mutta kutsui hänet Englantiin, huomaten nopeasti hänen kykynsä. Lukua 1729 kutsutaan heidän mukaansa Hardyn–Ramanujin luvuksi. Luku on tunnettu kaskusta , jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan ja kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa luvun olevan pienin kokonaisluku , joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla.[2]
The Man Who Knew Infinity on vuonna 2016 julkaistu Robert Kanigelin samannimiseen kirjaan perustuva elämänkerta–elokuva pääroolissa Dev Patel .
Ramanujanin syntymäpäivä (22. joulukuuta ) on vuodesta 2012 ollut matematiikan päivä Intiassa, jolloin juhlitaan matematiikan saavutuksia.[3]
Matemaattiset tulokset Alkeismatematiikka Ramanujan todisti monia alkeellisia mutta kiehtovia tuloksia:
( 3 x 2 + 5 x y − 5 y 2 ) 3 + ( 4 x 2 − 4 x y + 6 y 2 ) 3 + ( 5 x 2 − 5 x y − 3 y 2 ) 3 = ( 6 x 2 − 4 x y + 4 y 2 ) 3 {\displaystyle (3x^{2}+5xy-5y^{2})^{3}+(4x^{2}-4xy+6y^{2})^{3}+(5x^{2}-5xy-3y^{2})^{3}=(6x^{2}-4xy+4y^{2})^{3}}
( n + a ) 2 + x a + x ( n + a ) 2 + ( x + n ) a + ( x + n ) ( n + a ) 2 + ( x + 2 n ) a + ( x + 2 n ) … {\displaystyle {\sqrt {(n+a)^{2}+x\,a+x\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+n)\,a+(x+n)\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+2n)\,a+(x+2n)\,{\sqrt {\dots }}}}}}}}} = x + n + a . {\displaystyle =x\,+\,n\,+\,a.} Hän kehitti monia approksimaatioita piille :
9 5 + 9 5 = 3.1416 + {\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}} 3 4 + 2 4 + 1 2 + ( 2 3 ) 2 4 = 2143 22 4 = 3.14159 2652 + . {\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.} Identiteettejä juurille:
3 + 2 5 4 3 − 2 5 4 4 = 5 4 + 1 5 4 − 1 = 1 2 ( 3 + 5 4 + 5 + 125 4 ) , {\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),} 28 3 − 27 3 = 1 3 ( 98 3 − 28 3 − 1 ) , {\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),} 32 5 5 − 27 5 5 3 = 1 25 5 + 3 25 5 − 9 25 5 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},} 2 3 − 1 3 = 1 9 3 − 2 9 3 + 4 9 3 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.} Kombinatoriikka Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:
( m + 3 m ) B m = { m + 3 3 − ∑ j = 1 m / 6 ( m + 3 m − 6 j ) B m − 6 j , jos m ≡ 0 ( mod 6 ) ; m + 3 3 − ∑ j = 1 ( m − 2 ) / 6 ( m + 3 m − 6 j ) B m − 6 j , jos m ≡ 2 ( mod 6 ) ; − m + 3 6 − ∑ j = 1 ( m − 4 ) / 6 ( m + 3 m − 6 j ) B m − 6 j , jos m ≡ 4 ( mod 6 ) . {\displaystyle {{m+3} \choose {m}}B_{m}={\begin{cases}{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{m/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 0{\pmod {6}};\\{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{(m-2)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{{m+3} \over 6}-\sum \limits _{j=1}^{(m-4)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}} Äärettömät sarjat Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille :
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.} Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on
[ 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ cos ( n θ ) cosh ( n π ) ] − 2 + [ 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ cosh ( n θ ) cosh ( n π ) ] − 2 = 2 Γ 4 ( 3 4 ) π {\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}} kaikille θ {\displaystyle \theta } Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} gammafunktio . Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille , kuten:
1 − 5 ( 1 2 ) 3 + 9 ( 1 × 3 2 × 4 ) 3 − 13 ( 1 × 3 × 5 2 × 4 × 6 ) 3 + ⋯ = 2 π {\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}} 1 + 9 ( 1 4 ) 4 + 17 ( 1 × 5 4 × 8 ) 4 + 25 ( 1 × 5 × 9 4 × 8 × 12 ) 4 + ⋯ = 2 3 2 π 1 2 Γ 2 ( 3 4 ) . {\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.} Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.
Integraalit Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja , kuten
∫ 0 ∞ 1 + x 2 / ( b + 1 ) 2 1 + x 2 / ( a ) 2 × 1 + x 2 / ( b + 2 ) 2 1 + x 2 / ( a + 1 ) 2 × ⋯ d x = π 2 × Γ ( a + 1 2 ) Γ ( b + 1 ) Γ ( b − a + 1 2 ) Γ ( a ) Γ ( b + 1 2 ) Γ ( b − a + 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\cfrac {1+{x}^{2}/({b+1})^{2}}{1+{x}^{2}/({a})^{2}}}\times {\cfrac {1+{x}^{2}/({b+2})^{2}}{1+{x}^{2}/({a+1})^{2}}}\times \cdots \;\;dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma (a+{\frac {1}{2}})\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (a)\Gamma (b+{\frac {1}{2}})\Gamma (b-a+1)}}.} Ketjumurtoluvut Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille :
1 + 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ + 1 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + ⋯ = e ⋅ π 2 {\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}} φ + 2 − φ = e − 2 π / 5 1 + e − 2 π 1 + e − 4 π 1 + e − 6 π 1 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {\varphi +2}}-\varphi ={\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}} missä φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} kultainen leikkaus ;
1 1 + e − 2 π 5 1 + e − 4 π 5 1 + e − 6 π 5 ⋱ = ( 5 1 + 5 5 3 4 ( 5 − 1 2 ) 5 2 − 1 − 5 + 1 2 ) ⋅ e 2 π / 5 . {\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{\ddots }}}}}}}}={\Biggl (}{\frac {\sqrt {5}}{1+^{5}{\sqrt {5^{\frac {3}{4}}({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})^{\frac {5}{2}}-1}}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\Biggr )}\cdot e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.} Q-sarjat 1 ψ 1 [ a b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( b / a , q , q / a z , a z ; q ) ∞ ( b , b / a z , q / a , z ; q ) ∞ {\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}} jos |q | < 1 ja |b /a | < |z | < 1.
Rogersin–Ramanujanin identiteetit:
G ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 ( q ; q ) n = 1 ( q ; q 5 ) ∞ ( q 4 ; q 5 ) ∞ = 1 + q + q 2 + q 3 + 2 q 4 + 2 q 5 + 3 q 6 + ⋯ {\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,} ja
H ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 + n ( q ; q ) n = 1 ( q 2 ; q 5 ) ∞ ( q 3 ; q 5 ) ∞ = 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + 2 q 6 + ⋯ {\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,} Muita q-sarjoja:
∑ k = 0 ∞ p ( 5 k + 4 ) q k = 5 ( q 5 ) ∞ 5 ( q ) ∞ 6 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}}} ∑ k = 0 ∞ p ( 7 k + 5 ) q k = 7 ( q 7 ) ∞ 3 ( q ) ∞ 4 + 49 q ( q 7 ) ∞ 7 ( q ) ∞ 8 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}} missä p(n) on partitiofunktio. Tästä saadaan korollaareina kongruenssit
p ( 5 k + 4 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}} p ( 7 k + 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) . {\displaystyle p(7k+5)\equiv 0{\pmod {7}}.} Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:
p ( 11 k + 6 ) ≡ 0 ( mod 11 ) . {\displaystyle p(11k+6)\equiv 0{\pmod {11}}.} Eisenstein-sarjat Määritellään
L ( q ) = 1 − 24 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 − q n = E 2 ( τ ) {\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )} M ( q ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n = E 4 ( τ ) {\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )} N ( q ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n = E 6 ( τ ) , {\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ),} silloin on
q d L d q = L 2 − M 12 {\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}} q d M d q = L M − N 3 {\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}} q d N d q = L N − M 2 2 . {\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.} Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille .
Lähteet Hardy, G. H.: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work . New York: Chelsea Pub Co, 1999. ISBN 9780821820230 . (englanniksi) Viitteet
Kirjallisuutta Aiheesta muualla Commons 
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bc388f8ce31e8849701e4f98abebb3bb2cf5f3)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f261d646f8a48895ad0b0153bfc6748cb93dc)
![{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3444106b707ba14d569e2cf1de20d8dbc40e5448)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58849bde3247783bf5d785a1e9559aaab78b6b6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa95e59c7524f055171a2618cb32705c4a8e7772)
![{\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33c82cda7dc8c5d5f428fe85aa38d96b6893fd1)
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
.
