यंग मापांक

यंग मापांक, E, का मान प्रतिबल में विकृति से भाग देकर निकाला जा सकता है।

${\displaystyle E\equiv {\frac {\mbox{tensile stress}}{\mbox{extensional strain}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

जहाँ

E यंग मापांक है,

F तनाव में स्थित किसी वस्तु पर लगाया गया बल है,

A₀ मूल (अपरिवर्तित) क्षेत्रफल है जिस पर बल लगाया गया है।

ΔL वस्तु की लम्बाई में परिवर्तन,

L₀ वस्तु की मूल ९अपरिवर्तित) लम्बाई

किसी तने हुए या दबाये हुए पदार्थ द्वारा लगाया गया बल

यंग के मापांक का उपयोग करके यह निकाला जा सकता है कि किसी दिये हुए विकृति के लिये वह पदार्थ कितना बल लगाता है-

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

जहाँ F वह बल है जो पदार्थ को ΔL लम्बाई तानने या दबाने पर पदार्थ द्वारा लगाया जाता है।

इस सूत्र से हुक का नियम निकाला जा सकता है जो किसी आदर्श स्प्रिंग के संदृढ़ता (स्टिफनेस) को परिभाषित करता है।

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx\,}$

जहाँ यह संतृप्तता में चला जाता है।

${\displaystyle k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}\,}$ and ${\displaystyle x=\Delta L.\,}$

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा

संग्रहित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic potential energy) का मान उपरोक्त व्यंजक को L के सापेक्ष समाकलित करके निकाला जा सकता है।

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\int {\Delta L}\,d\Delta L={\frac {EA_{0}{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

जहाँ U_e प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा है।

इकाई आयतन में संगृहीत प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का मान निम्नलिखित सूत्र से दीया जायेगा-

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}L_{0}}}={\frac {E{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$ , जहाँ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$ पदार्थ की विकृति है।

यह सूत्र हुक के नियम के समाकलन के रूप में भी लिखा जा सकता है-

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

प्रत्यास्थता मापांकों में सम्बन्ध

समांग समदैशिक (homogeneous isotropic) पदार्थों के लिये प्रत्यास्थता मापांकों (यंग मापांक E, अपरूपण मापांक G, आयतन गुणांक K, और प्वासों अनुपात ν)के बीच सरल सम्बन्ध पाये जाते हैं। अतः यदि कोई दो मापांक दिये हों तो अन्य मापांकों का मान निकाला जा सकता है।

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).\,}$

• प्रत्यास्थता
• हुक का नियम
• संरचना इंजीनियरी

• Matweb: free database of engineering properties for over 63,000 materials
• Young's Modulus for groups of materials, and their cost

परिवर्तन के सूत्र
होमोजिनस आइसोट्रॉपिक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ के कोई भी दो मापांक दिये हों तो अन्य गुण निम्नलिखित सूत्रों द्वारा प्राप्त किये जा सकते हैं।
	${\displaystyle (K,\,E)}$	${\displaystyle (K,\,\lambda )}$	${\displaystyle (K,\,G)}$	${\displaystyle (K,\,\nu )}$	${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle (G,\,M)}$
${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$
${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M-2G\,}$
${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$
${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle M=\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$	${\displaystyle M}$