O módulo ou valor absoluto (representado matematicamente como | a | {\displaystyle |a|} ) de um número real a {\displaystyle a} é o seu valor numérico absoluto, ou seja, desconsiderando-se seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.
O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:
| a | = { a , se a ≥ 0 − a , se a < 0. {\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{se }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{se }}a<0.\end{cases}}} Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero , mas nunca negativo .
Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.
Uma função modular é uma aplicação de R {\displaystyle \mathbb {R} } em R {\displaystyle \mathbb {R} } quando cada x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } está associado um elemento | x | ∈ R {\displaystyle |x|\in \mathbb {R} } .[ 1]
Logo uma função modular é uma função definida por partes, e sua forma mais geral é dada por:
f ( x ) = { x , se x ≥ 0 − x , se x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x<0.\end{cases}}}
Essa é a forma mais geral de uma função modular, porém é possível que haja diferentes tipos de funções combinadas com funções modulares.
Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva , segue que
| a | = a 2 {\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)}
que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto de um número real.[ 2]
O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:
| a | ≥ 0 {\displaystyle |a|\geq 0} ( 2 ) {\displaystyle (2)} É não negativo | a | = 0 ⟺ a = 0 {\displaystyle |a|=0\iff a=0} ( 3 ) {\displaystyle (3)} É positivo definido | a b | = | a | | b | {\displaystyle |ab|=|a||b|} ( 4 ) {\displaystyle (4)} É multiplicativo | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} ( 5 ) {\displaystyle (5)} É subaditivo
Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:
| − a | = | a | {\displaystyle |-a|=|a|} ( 6 ) {\displaystyle (6)} Simetria | a − b | = 0 ⟺ a = b {\displaystyle |a-b|=0\iff a=b} ( 7 ) {\displaystyle (7)} Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido) | a − b | ≤ | a − c | + | c − b | {\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|} ( 8 ) {\displaystyle (8)} Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade) | a / b | = | a | / | b | (se b ≠ 0 ) {\displaystyle |a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (se }}b\neq 0)} ( 9 ) {\displaystyle (9)} Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade) | a − b | ≥ | | a | − | b | | {\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||} ( 10 ) {\displaystyle (10)} (equivalente à subaditividade)
No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b} | a | ≥ b ⟺ a ≤ − b ou b ≤ a {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ ou }}b\leq a} Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:
| x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} ⟺ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}
O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta , uma métrica usual nos números reais.
Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:
| a | 2 = a 2 , ∀ a ∈ R {\displaystyle |a|^{2}=a^{2},\qquad \forall a\in \mathbb {R} } | − a | = | a | , ∀ a ∈ R {\displaystyle |-a|=|a|,\qquad \forall a\in \mathbb {R} } | a + b | ≤ | a | + | b | , ∀ a , b ∈ R {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|,\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} } Notas e referências