约翰·卡爾·弗里德里希·高斯 (德語:Johann Carl Friedrich Gauß ⓘ ,1777年4月30日—1855年2月23日),德國 數學家 、物理學家 、天文學家 、大地测量學 家。目前普遍認為他是有史以來最偉大的數學家之一,並享有「首席數學家 」(拉丁語 :Princeps mathematicorum [1] )的美譽。因為高斯於數學發展有重大貢獻,後世也尊稱其為「數學王子 」。
生平 高斯在不伦瑞克的出生地,此建筑于1944年10月遭到空袭 早年 1777年4月30日,約翰·卡爾·弗里德里希·高斯出生在布倫瑞克-沃爾芬比特爾親王國 (現為德國的下薩克森州 )不倫瑞克市 的一个清寒家庭。[3] 高斯的父親 是格布哈德·迪特里希·高斯(Gebhard Dietrich Gauss,1744–1808),格布哈德1768年與其第一任妻子結婚,但第一任妻子1775年死於肺結核 ,終年30歲。之後他於1776年與高斯的母親結婚。格布哈德從事過多種工作如屠夫、磚匠、園丁等。高斯的母親多蘿西婭(Dorothea,1743–1839)沒有受過學校教育,近乎是文盲 ,但她聰明、性格開朗且堅強,她婚前曾當過7年女僕。高斯曾描述其父親“在許多方面值得尊敬,也確實受人尊重,但在家里卻獨斷專橫,粗野而無教養”,描述她的母親為一位“傑出的女性”。多蘿西婭有一個弟弟(即高斯的舅父 )約翰·弗里德里希(Johann Friedrich)是位技術精湛的藝術家,他意識到了侄子高斯的天賦異稟,便不時盡自己所能指點高斯。1809年舅父離世時,高斯經常說“一個天生的天才就這樣離去了”。父親格布哈德曾力圖讓高斯走他的老路,成為一名石匠或園丁,不支持高斯接受教育,不過母親和舅父都意識到了高斯的天賦,極力支持和擁護高斯通過教育來發展才能。[4] [5]
高斯是數學領域的神童,當高斯的小學老師比特納(J. G. Büttner)和其助手約翰·克里斯蒂安·馬丁·巴特爾斯意识到他天赋異禀,便向普魯士 元帥布伦瑞克-吕讷堡公爵 介紹高斯的才能。公爵也很快意識到高斯的才能,便把高斯送往卡羅琳學院並給予經濟支持,1792年至1795年間,高斯在此就讀,其中有一位老師是埃伯哈德·奥古斯特·威廉·冯·齐默尔曼 。此後直至1798年,公爵繼續給予和資助高斯在哥廷根大学 進修,高斯在此學習數學、自然科學和古典學。[7]
高斯是一名在校學生,更是一位自學成才的學生,他自己發現了幾個已被發現的重要數學定理。他於1796年解決了自古希腊 時期起就困擾著數學家的幾何問題:他證明了可以通過尺規作圖 畫出某些正多邊形(即可作圖多邊形 ),他將此發現寫於他的第一份出版物中,這一發現也使得高斯以數學而非文學為自己的事業。高斯對這一發現極為滿意,他曾向他的摯友匈牙利數學家鮑耶·亞諾什 表示,要在自己的墓碑上刻一個正17邊形,但後來在不倫瑞克建高斯紀念碑時,石匠說所有人會把刻的正17邊形看作圓,因此只在紀念碑基座背面刻了17點的星形。[8] [9] [10] 1796年也是高斯大顯身手的一年,在高斯的數學日記(Mathematisches Tagebuch)中,記於3月30日的第一條即為構造正17邊形的方法,其他的條目有:進一步改良了模運算 的方法,大大的簡化了在整數上的運算;4月8日,給出了二次互反律 的第一個證明;5月13日,猜測質數在整數中的分布即質數定理 ,此猜想於1896年由法國數學家雅克·阿達馬 和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑 各自給出嚴格證明;7月10日,他在日記中記下:“ΕΥΡΗΚΑ !num =Δ+Δ'+Δ”,即每個正整數都可以表示為三個三角形數 的和。從這年起,高斯對其數學巨著《算術研究》(Disquisitiones arithmeticae)萌生了許多想法。
1798年,高斯完成了他的巨作《算術研究 》,該作直到1801年才正式出版。
晚年 高斯逝世一天后在病榻上 晚年的高斯虽然患有痛风 ,但仍然思维活跃。62岁时,他开始自学俄语,可能是为了阅读俄罗斯数学家罗巴切夫斯基 关于非欧几里得几何 的著作。 他的最后一次天文观测是对于1851年7月28日的日食(时年74岁)。1855年2月23日凌晨一点零五分,77岁的高斯因心脏病 发作,在哥廷根 天文台的躺椅上去世。[13] 高斯被安葬在哥廷根的阿尔巴尼公墓 。高斯的女婿 埃瓦尔德 (即高斯的女儿威廉明娜的配偶)和高斯的学生兼挚友萨托里尔斯 在高斯的葬礼上致悼词 。
贡献 数学 1828年出版的天文学通报 中高斯肖像。 代数和数论 高斯在其1799年的博士论文中清晰地阐明了複數 的概念和应用,并且严格证明了代数基本定理 ,该定理指出任何一个一元复系数多项式方程 都至少有一个复数根 ,在此之前,包括让·勒朗·达朗贝尔 在内的数学家作出了对此定理错误的证明,高斯的论文也包含对达朗贝尔证明的指正[14] 。
从高斯的数学日记中的条目可知,他至少已于1796年开始研究数论 问题,其中他的一些发现已经由其他学者先于其完成。1798年(时年21岁)至1799年[13] ,高斯在《算术研究 》一教材中对所有上述这些成果进行了汇编,这本书也使得数论得以严谨化和系统化,其中涵盖了初级和代数数论。在这本教材的主要章节,高斯给出了二次互反律 的两个证明方法,这成为数论 继续发展的重要基础。这部著作的第一章,引入同餘 的概念,並用符號≡ 表示。他还证明了费马多边形数定理 的三角形数的情况。在最后一章中,高斯将一个几何问题转化为代数问题,他断言正多边形能用尺规作图 (这时称为可作图多边形 )当且仅当该正多边形 的边数是2的非负整数 次幂 和任意个(可为0个)相异费马素数 的乘积,高斯给出了这一命题充分性 的证明,但没有给出必要性 的证明。必要性的严格证明由法国数学家皮埃尔·洛朗·旺策尔 于1837年给出。[16]
高斯可能在1801年就知晓了类数公式 [17] ,同年,他发表了关于有限域 中系数多项式的解的数量的结论,150年后促成了韦尔猜想 。此外他还研究了连分数 ,发现了素数分布规律即質数定理 ,和证明了费马大定理 n=5的情形[18] 和正则排列的克卜勒猜想 。
通过对足够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上,高斯随后專注于曲面 与曲线 的计算,并成功得到高斯钟形曲线(正态分布 曲线)。其函数被命名为标准正态分布 (或高斯分布),并在概率论 中大量使用。
高斯推导了寻找复活节 日期和逾越节 日期的计算方法。1805年,他在计算小行星帕拉斯(Pallas)和朱诺(Juno)的轨道时,发现了用于计算离散傅里叶变换 的库利-图基快速傅里叶变换算法 ,比詹姆斯·库利 和约翰·图基 早160年,之后他将其延伸为三角插值法 。[19]
几何 1796年(时年19岁),高斯给出了仅用尺规作图 构造出正17边形 的方法,这是2000多年来正多边形尺规作图的首次进展。[20]
非欧几何 方面。高斯称其发现了非欧几何的可能性,事实上他确是正真预见并具有相当完整的非欧几何想法的第一人,但他并没有正式发表过相关内容[21] 。1829年之前高斯给其他数学家的信件中,他模糊地讨论了平行公设 的问题,邓宁顿 认为,在鲍耶·亚诺什 发表非欧几何之前,高斯实际上已经完全掌握了非欧几何,但是他拒绝发表任何东西,因为他害怕引起争议。[22] [23] “非欧几何”一词由他创造[24] ,这一发现是几何 领域的革命性转变,因为它使数学家摆脱了错误的观念,即欧几里得公理 是使几何学一致且无矛盾的唯一方法。对非欧几何的研究促成了爱因斯坦 的广义相对论 ,后者将宇宙 描述为非欧几里得空间 。
天文学和大地测量学 1818年至1826年间,高斯主导了汉诺威 公国的大地测量 工作。通过最小二乘法 为基础的测量平差 的方法和求解线性方程组 的方法,显著地提高了测量的精度。
高斯在最小二乘法 基础上创立的测量平差 理论的帮助下,测算天体 的运行轨迹。他用这种方法,测算出了小行星 谷神星 的运行轨迹。
谷神星 于1801年被意大利天文学家皮亚齐 发现,但因病他耽误了观测,从而失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话 中的“丰收女神”对它命名,称为谷神星 ,并将自己以前观测的数据发表出来,希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前3次的观测数据,计算出了谷神星 的运行轨迹。奥地利 天文学家海因里希·歐伯斯 根据高斯计算出的轨道成功地发现了谷神星 。高斯将这种方法发表在其著作《天体运动论》(拉丁語 :Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晚计算。在五到六年间,经他亲自计算过的大地测量数据超过100万个。当高斯领导的三角测量外场观测走上正轨后,高斯把主要精力转移到处理观测成果的计算上,写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中,他推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式,并作出了详细证明。这个理论直至现在仍有应用的价值。
汉诺威公国的大地测量工作至1848年结束。这项大地测量史上的巨大工程,如果没有高斯在理论上的仔细推敲,在观测上力图合理和精确,在数据处理上尽量周密和细致,就不能圆满的完成。在当时的不发达的条件下,布设了大规模的大地控制网,精确地确定2578个三角点的大地坐标。
为了用椭圆 在球面上的正形投影理论以解决大地测量 中出现的问题,在这段时间内高斯亦从事了曲面和投影的理论,并成为了微分几何 的重要理论基础。相对论 证明了宇宙空间实际上是非欧几何 的空间。高斯的思想被近100年后的物理学所认可。
高斯试图在汉诺威 公国的大地测量中通过测量Harz的Brocken——Thüringer Wald的Inselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和,以验证非欧几何 的正确性,但未成功。後來高斯朋友的儿子鮑耶·亞諾什 在1823年证明了非欧几何的存在,高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年,俄國學者罗巴切夫斯基 用德文写了《平行线理论的几何研究》一文,这篇论文的发表引起了高斯的注意。他非常重视这一论证,积极建议哥廷根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作,从这一年开始,63岁的高斯开始学习俄语,并最终掌握了这门外语。高斯、亞諾什和罗巴切夫斯基後來被並稱為微分几何的始祖。
物理学 高斯-韋伯磁强计 出于对实际应用的兴趣,高斯发明了日光反射仪。日光反射仪可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进,试制成功了后来被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。
19世纪30年代,高斯发明了磁强计 。他辞去了天文台 的工作,而转向物理的研究。他与物理学家威廉·爱德华·韦伯 (1804-1891年)在电磁学 领域共同工作。他比韦伯年长27岁,以亦师亦友的身份与其合作。1833年,通过受电磁影响的罗盘指针,他向韦伯发送出电报。这不仅是从韦伯的实验室与天文台之间的第一个电话电报系统,也是世界首创的第一个电话电报系统。
1840年,他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图,并且定出了地球磁南极和磁北极的位置。次年,这些位置得到美国科学家的证实。
高斯在数个领域进行研究,但只把他认为已经成熟的理论发表出来。他经常对他的同事表示,该同事的结论自己以前已经证明过了,只是因为基础理论的不完备而没有发表。事实上高斯把他的研究结果都记录了起来。他死后,他的20部纪录着他的研究结果和想法的笔记被发现,证明高斯所说的是事实。一般人认为,20部笔记并非高斯笔记的全部。
婚姻与家庭 高斯的第二任妻子明娜的肖像 1805年10月9日,高斯与其第一任妻子约翰娜·奥斯托夫(Johanna Osthoff,1780-1809 )结婚[25] ,并和其育有两子一女:约瑟夫(Joseph,1806-1873)、威廉明娜(Wilhelmina,1808-1840)和路易斯(Louis,1809-1810)。路易斯出生一个月后的1809 年10月11日,高斯的妻子逝世,几个月后路易斯也不幸夭折。高斯对妻子的离去十分悲痛,他用古老的旋律风格给妻子写了一封古代哀歌式的悼词。[26]
之后的1810年8月4日,高斯与他的第一任妻子的朋友Friederica Wilhelmine Waldeck(又名明娜,即Minna)结婚,并和其育有另外三个孩子:欧根 (Eugen,1811-1896)、威廉 (Wilhelm,1813-1896)和特蕾莎(Therese,1816-1864)。自1818年起,明娜的健康状况下降,患上了肺结核 ,最终于1831年9月12日去世,终年43岁。[28] 之后特蕾莎接管这个家,照顾高斯的余生。高斯的母親自1817年起和高斯住在一起,最终于1839年去世,享年95岁。[29]
当第一任妻子逝世后,高斯变得和他父亲一样想要支配自己的子女。之後高斯與他的兒子们發生了衝突,他不希望他们中任何一个進入數學 或科學 的領域,唯恐“拉低家族声誉”,同时他认为他们中没有人能超越他自己的成就。[30]
高斯最小的女儿特蕾莎的肖像 当长子约瑟夫还在上学时,他就于1921年作为助手协助父亲高斯的测量工作。在大学的短暂学习后,他于1824年入伍汉诺威军队 ,并于1829年再次协助高斯的测量工作。1830年代后期,他负责将测量区域扩大到王国的西部地区。然而,尽管经过多年的努力,他一直处于较低的军衔(自1834年起担任中尉 ),薪资很微薄,还需要依赖父亲的经济支持,尤其是在1840年结婚后加剧了这种情况。之后他离开了军队,并凭借自己的测量学背景,担任了汉诺威皇家国家铁路 的总监,负责铁路 网的建设。1836年,约瑟夫曾花费数个月在美国 研究铁路系统。[31]
欧根在算术 和语言 方面展现着与高斯一样出色的才能,并且他的性格活泼而时有叛逆。他想学习语文学 ,但高斯希望他成为一名律师。欧根负债累累,还在公众面前引发丑闻,[30] 他在这种情况下于1830年9月突然离开哥廷根 ,经由不来梅 市移民到美国 。起初,他挥霍了携带的一点钱,并且父亲高斯还拒绝给他另外的经济支持,之后他参军了五年,还在美国毛皮公司 工作过,并在那里学会了苏族 语。后来他移居密西西比州 并成为了一名成功的商人。[31] 多年来,欧根的成功才逐渐改变了他在高斯的朋友和同事中的名声。[32] [33]
威廉与天文学家弗里德里希·威廉·贝塞尔 的侄女 结婚,并于1837年移居美国密苏里州 。[34] 他最初在那里是一位农民 ,后来在圣路易斯 市的制鞋业致富。欧根和威廉在美国拥有许多后代,同时高斯的女儿们没有后代,于是德国的高斯家族仅由约瑟夫传承下来了。[31]
性格特点 高斯是個充滿熱情且工作認真的完美主義者 ,他拒絕發表他認為不完整和可能涉及争论的作品,這符合他個人的座右銘 :Pauca sed matura (直译为英文是“few, but ripe”,直译为中文是“少而精”)。从他的個人日記可知,对于同时代数学家所发表的一些重大的数学成果,高斯先于他们几年或者几十年就已经发现。 英国数学家埃里克·坦普尔·贝尔 曾称,如果高斯及时发表他的所有数学成果,这将使数学直接进步50年。[35] 高斯通常不愿意透露他那些优雅证明背后的灵感,还细心地抹去了导致他得到这些结论的所有思考痕迹。
高斯不喜欢教学,他教授的學生不多,但一些學生卻成為了具有影響力的數學家,其中包括理查德·戴德金 、伯恩哈德·黎曼 和弗里德里希·貝塞爾 。在高斯的推荐下,1811年3月哥廷根大学授予贝塞尔荣誉博士学位。此外,高斯还推荐授予与他有过一段书信往来的女性数学家索菲·热尔曼 荣誉学位,但她因患乳腺癌 离世未能收到。[36]
高斯在1808年9月2日写给法卡斯·博莱伊 的一封信中总结了他对追求知识的观点:[37]
不是知识本身,而是学习的行为,不是拥有,而是去获得的行为,给予了我最大的乐趣。当我阐明和详尽讨论一个主题后,我就转身离开它,只为再次踏入“黑暗”。永不满足的人是如此奇怪,如果他建成了一座大厦,那不是为了安详地居住在其中,而是为了开始建造另一个。我想,世界的征服者一定有这样的感觉,在一个王国刚刚被他征服之后,他就会向其他国家伸出了双臂。[38]
高斯堅持對宗教 的寬容,他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。[29]
轶事 高斯的手稿 高斯的母亲没有记录高斯的出生日期,但她记得是在耶稣升天节 的前八天(即复活节 后39天)出生的。后来高斯找到一种寻找复活节日期的方法 ,于是通过计算得到了自己的出生日期。[40]
德国地质学家 、高斯在哥廷根大学的学生和挚友萨托里尔斯 写有高斯的传记 ,其中写道,三岁的高斯便能纠正父亲的计算错误。另外他还写了一个著名的故事:在小学时,老师比特纳和他的助手约翰·克里斯蒂安·马丁·巴特尔斯 在全班布置了一道等差数列 求和的练习题,全班约有一百人,高斯最先给出正确答案,并且比其他人快得多。[41] [42] 萨托里尔斯没有给出这个故事的具体细节,更没有给出这道题的具体内容,后来随着时间推移,这个故事出现了许多版本,也越来越详细地描述了求和题的具体内容,最广为流传的就是1至100之间所有的整数求和。[44] [42]
高斯把数学称作“科学的皇后”[45] 。据称,高斯曾经说过:如果一个学生在被告知欧拉恒等式 时未能立刻视之为明显的事实,这个学生将永远不会成为一流的数学家。[46] [47] [48]
紀念 在高斯出生地不伦瑞克 的高斯雕像 (1880),由弗里茨沙佩尔 设计,由 赫尔曼·海因里希·霍瓦尔特 制作。 1989年至2001年,高斯的肖像和他所發現的正态分布 曲线與哥廷根地标性建筑一起印在德國10马克 的鈔票中。另一方面,在漢諾威有和他有關的日光反射仪以及三角測量方法。在德國也發行了三種用以表彰高斯的郵票 。第一種郵票(第725號)發行於1955年——即高斯逝世100周年;另外兩種郵票(第1246號和第1811號)發行於1977年——即高斯诞辰200周年。
高斯的雕像矗立在不伦瑞克 和哥廷根 ,位于后者的与德国数学家海因里希·马丁·韦伯 的纪念碑在一起。高斯的半身像放置于瓦尔哈拉神殿 和位于波茨坦 的德国地球科学研究中心 。
下萨克森 州和哥廷根大学 图书馆已经将高斯的全部著作数位化,并放置于互联网 上。
Daniel Kehlmann在2005年寫的一本小說《测量世界 》(德語:Die Vermessung der Welt ,2006年出版英文版《Measuring the World》),以小說的歷史鏡頭來探索高斯的一生和工作,藉此與另一位德國地理學家 亞歷山大·馮·洪堡 作對比。2012年,由小说改编而成的同名电影《测量世界 》上映。
2007年,他的半身像被引進德國巴伐利亞州雷根斯堡瓦爾哈拉神殿 。[49]
在高斯的榮耀中,以他命名的事物包括:
用在磁場的CGS制 計量單位以高斯來命名。 月球上的坑洞以他來命名。[50] 小行星1001又稱為「高斯星」。 高斯号 探险船,是德国遠征南極 時所使用的船。2018年4月30日,Google 以首頁塗鴉 紀念高斯的241歲誕辰。[51] [52] [5]
德国10马克纸币(1993 年发行),带有正态分布公式和曲线,其中背景是一些
哥廷根 建筑。
德国发行的纪念高斯诞辰200周年的邮票,内容是
复平面 。
著作 高斯的最为著名的著作有:
1799年:关于代数基本定理的博士论文(Doktorarbeit über den Fundamentalsatz der Algebra) 1801年:算术研究 (Disquisitiones Arithmeticae) 1809年:天体运动论(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium) 1827年:曲面的一般研究(Disquisitiones generales circa superficies curvas) 1843-1844年:高等大地测量学理论(上,Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 1) 1846-1847年:高等大地测量学理论(下,Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie, Teil 2) 数学 1799年: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse [New proof of the theorem that every integral algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree] . Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 1866. (代数基本定理博士论文, 赫尔姆施泰特大学 ) 1816年: Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 107–134. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). 1816年: Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 135–142. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). 1850年: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen . Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 34–35. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). 1801年: Disquisitiones Arithmeticae . Leipzig: Gerh. Fleischer jun. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-06-21). (《算术研究 》) 1808年: Theorematis arithmetici demonstratio nova . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math.: 69–74. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). (引入高斯引理,并将其用于二次互反律 的第三个证明) 1809年: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium . Hamburg: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser (拉丁语) . 1811年: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809 . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Math.: 1–26. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). (Orbit of Pallas) 1811年: Summatio quarundam serierum singularium . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–40. [2023-08-16 ] . (原始内容存档 于2023-04-04). (确定二次高斯和 的符号,用它给出二次互反律的第四个证明) 1812年: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1 + α β γ .1 + etc. {\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}} . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 1–42. 1815年: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 39–76. 1818年: Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 3–20. (二次互反律的第五和第六个证明) 1821年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 33–62. 1823年: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.: 63–90. 1828年: Gauss, Carl Friedrich. Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. (Dieterich). 1828, 6 : 57–98. Bibcode:1828stco.book.....G . (关于以概率计算为基础的高斯误差传播法则的三篇论文) 1827年: Disquisitiones generales circa superficies curvas . 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參見 注释 参考文献 1800年代 1810年代 1820年代 1821年:爱德华·赛宾 约翰·赫歇尔 1822年:威廉·布克蘭 1823年:约翰·庞德 1824年:约翰·布林克利 1825年:弗朗索瓦·阿拉戈 彼得·巴洛 1826年:詹姆斯·索思 1827年:威廉·普罗特 亨利·福斯特 1828年:未頒發 1829年:未頒發 1830年:未頒發 1830年代 1840年代