Parametri orbitali

L'insieme tradizionale di parametri orbitali è associato al nome di Keplero, in onore delle sue celebri tre leggi. I parametri previsti sono:

• Inclinazione (${\displaystyle i}$ );
• Longitudine del nodo ascendente o l'ascensione retta del nodo ascendente (${\displaystyle \Omega }$ );
• Argomento del pericentro (${\displaystyle \omega }$ );
• Eccentricità (${\displaystyle e}$ );
• Periodo orbitale (${\displaystyle T}$ ) o semiasse maggiore ${\displaystyle a}$ ;
• Anomalia vera (${\displaystyle \theta }$ ), oppure longitudine media o anomalia media (${\displaystyle M_{o}}$ ) nell'epoca considerata.

I parametri riportati individuano l'orbita come segue:

• Il semiasse maggiore (o il periodo) individuano le dimensioni dell'orbita;
• L'eccentricità determina la forma dell'orbita;
• L'inclinazione e la longitudine (o l'ascensione retta) del nodo ascendente precisano il piano orbitale;
• L'argomento del pericentro specifica l'orientazione dell'orbita all'interno del piano;
• L'anomalia vera specifica la posizione dell'oggetto sull'orbita in funzione del tempo.

Data l'imprecisione del modello newtoniano del moto orbitale, che considera i corpi celesti come veri oggetti puntiformi, gli elementi orbitali dei pianeti reali tendono a cambiare nel tempo.

Inoltre per i satelliti artificiali che sfiorano l'atmosfera del corpo attorno al quale orbitano si specifica talvolta un ottavo parametro, ovvero l'attrito atmosferico.

Noti i vettori di stato ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è possibile passare agevolmente alle costanti del moto e ai sei parametri orbitali, infatti, nelle ipotesi di moto centrale senza perturbazioni, cinque dei sei parametri si conservano nel tempo (tranne l'anomalia vera) e di conseguenza è più semplice la trattazione dell'orbita.

Noto il momento angolare orbitale specifico ${\displaystyle \mathbf {h} }$ , come

${\displaystyle \mathbf {h} ={\mathbf {r} \times \mathbf {v} }=h_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+h_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+h_{z}{\hat {\mathbf {k} }}}$

ed il suo modulo, l'inclinazione del piano orbitale rispetto al sistema inerziale vale

${\displaystyle i=\arccos {h_{\mathrm {z} } \over \left|\mathbf {h} \right|}}$

dove ${\displaystyle h_{\mathrm {z} }}$ è la componente di ${\displaystyle \mathbf {h} }$ lungo ${\displaystyle z}$ ;

L'ascensione retta del nodo ascendente (Right Ascension of the Ascending node, RAAN) è l'angolo misurato sul piano equatoriale compreso tra la direzione del punto d'Ariete e il nodo ascendente;

${\displaystyle \Omega =\arccos {{N_{x}} \over {\mathbf {\left|N\right|} }}}$

Se ${\displaystyle n_{y}<0}$ allora ${\displaystyle \Omega =2\pi -\Omega }$

dove ${\displaystyle N_{x}}$ è la componente lungo ${\displaystyle x}$ del vettore asse nodale ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ; si noti che l'asse nodale, definito come vettore dato dall'intersezione di piano equatoriale e piano orbitale, non ha componenti lungo ${\displaystyle z}$ nel sistema di riferimento inerziale.

Alternativamente può essere usata la longitudine del nodo ascendente: i due parametri contengono la medesima informazione ma riferita a due piani diversi:

• La RAAN è misurata sul piano equatoriale dell'attrattore (si usa maggiormente per satelliti geocentrici);
• La Longitudine del Nodo ascendente è misurata sul piano dell'eclittica.

L'argomento del pericentro, o anomalia del pericentro (periasse) è l'angolo, misurato sul piano orbitale, compreso tra il nodo ascendente ed il vettore eccentricità. Il vettore eccentricità ha come direzione la linea degli apsidi e come verso uscente dal pericentro.

${\displaystyle \omega =\arccos {{\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} } \over {\mathbf {\left|N\right|} \mathbf {\left|e\right|} }}}$

se ${\displaystyle e_{z}<0}$ allora ${\displaystyle \omega =2\pi -\omega }$

dove

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$ è il vettore asse nodale;
• ${\displaystyle \mathbf {e} }$ è il vettore eccentricità, che è una costante vettoriale di moto.

L'eccentricità è il modulo del vettore eccentricità ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle e=\left|\mathbf {e} \right|}$

oppure può essere calcolato noti i raggi di apocentro e pericentro (nel caso di un'orbita ellittica)

${\displaystyle e={{r_{a}-r_{p}} \over {r_{a}+r_{p}}}}$

Un'espressione generale, valida per ogni tipo di conica, è funzione dell'energia totale specifica, del momento angolare orbitale e della costante planetaria ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{{2\varepsilon h^{2}} \over {\mu ^{2}}}}}}$

Il semiasse maggiore può essere calcolato a partire dall'energia orbitale specifica ${\displaystyle \varepsilon }$ poiché risulta:

${\displaystyle a=-{\mu \over {2\varepsilon }}}$

oppure come

${\displaystyle a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}}$

Il legame tra semiasse e periodo è dato dalla Terza legge di Keplero:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

dove ${\displaystyle \mu \ }$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore.

L'anomalia vera è l'unico parametro orbitale kepleriano che cambia valore durante il moto; infatti descrive l'angolo tra il pericentro ed il corpo orbitante, misurato sul piano orbitale.

${\displaystyle \theta =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$ se ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} >0}$

Altrimenti l'anomalia vale ${\displaystyle \theta =2\pi -\theta }$

• Perturbazione (astronomia)
• Effemeridi
• Inclinazione (orbita)
• Ascensione retta del nodo ascendente
• Longitudine del nodo ascendente
• Eccentricità (orbita)
• Argomento del pericentro
• Anomalia vera
• Semiasse maggiore
• Vettori orbitali di stato

• Keplerian Elements, su marine.rutgers.edu. URL consultato il 9 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 12 febbraio 2012).
• Spacetrack Report No. 3 (formato pdf)
• Celestrak Two-Line Elements FAQ, su celestrak.com.

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