カルタン幾何学 [注 1] 英 : Cartan geometry ）とは、微分幾何学 における概念で、多様体 の各点における「一次近似 」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学 を包括する幾何学概念として提案された。
以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体 、関数 、バンドル 等といった場合はC∞ 級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。
概要 定義の背後にある直観 準備 本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。
基本ベクトル場 G をリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} リー代数 とし、さらにN をG が右から作用する多様体（例えばG -主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} P ）とする。
なお、N がG -主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} P の場合には A _ p {\displaystyle {\underline {A}}_{p}} V p {\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}}
随伴表現 ここで G L ( g ) {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h ( t ) {\displaystyle h(t)}
モーレー・カルタン形式 クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす[6]
ここで [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} α 、β に対し、 [ α , β ] ( X , Y ) := [ α ( X ) , β ( Y ) ] − [ α ( Y ) , β ( X ) ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]}
上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式 [7] 英 : Maurer-Cartan equation ）、もしくはリー群G の構造方程式 [8] 英 : structure equation ）という。
定義と基本概念 定義 リー群G とその閉部分リー群の組 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} G / H {\displaystyle G/H} 連結になるもの をクライン幾何学 モデル幾何学 （英 : model geometry ）という[9] [10]
( G , H ) {\displaystyle (G,H)} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} G 、H のリー代数とする。
ω をH -主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} カルタン接続 （英 : Cartan connection ）という。また紛れがなければM の事をカルタン幾何学 という[12]
3つの条件の直観的な意味を説明する。
1つ目の条件は、 T p P {\displaystyle T_{p}P} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 前述した直観的説明 のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、M にいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合 T p P {\displaystyle T_{p}P} g = i s o ( E 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{2})} ２つ目の条件は、各 u ∈ M {\displaystyle u\in M} ω が同型写像 A ∈ h ↦ A _ ∈ T p P p {\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}\mapsto {\underline {A}}\in T_{p}P_{p}} A _ {\displaystyle {\underline {A}}} A ∈ h {\displaystyle A\in {\mathfrak {h}}} P p {\displaystyle P_{p}} 前述した直観的説明 からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明 のところで登場した以下の要件が従う： ω ( T P u ) ∈ h {\displaystyle \omega (TP_{u})\in {\mathfrak {h}}} ３つ目の条件は、前述した直観的説明 から u ∈ M {\displaystyle u\in M} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} h ∈ H {\displaystyle h\in H} g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} T h G {\displaystyle T_{h}G} h − 1 {\displaystyle h^{-1}} g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} A d ( h − 1 ) {\displaystyle \mathrm {Ad} (h^{-1})} なお、 ω : T p P → ∼ g {\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}} 同型 なので、M 上定義できるカルタン幾何学には
dim g = dim h + dim M {\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\dim M} という制約が課せられる事になる。
主接続との関係 カルタン接続の定義は主バンドルの接続 （主接続）の接続形式 の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、H -主バンドルの主接続の接続形式 はH のリー代数 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} G のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} M 上のカルタン幾何学とするとき、H -主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} ω : T P → g {\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
Q := P × H G → M {\displaystyle Q:=P\times _{H}G\to M} というG -主バンドル上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ω ¯ : T Q → g {\displaystyle {\bar {\omega }}~:~TQ\to {\mathfrak {g}}} に拡張する事ができ[14] ω ¯ {\displaystyle {\bar {\omega }}} G -主バンドル Q → M {\displaystyle Q\to M} [14] Q → M {\displaystyle Q\to M} G -主バンドルとし、 ω ¯ {\displaystyle {\bar {\omega }}} Q 上定義された接続形式とするとき、 Q → M {\displaystyle Q\to M} H -部分バンドル φ : P → Q {\displaystyle \varphi ~:~P\to Q} φ ∗ ( T P ) ∩ ker ω = { 0 } {\displaystyle \varphi _{*}(TP)\cap \ker \omega =\{0\}} dim G = dim P {\displaystyle \dim G=\dim P} ω のTP への制限はP 上のカルタン接続になる[15]
なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述 する。
無限小クライン幾何学による定式化 定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} H には依存しているが、G には直接依存していない。これは g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} H はM 上のカルタン幾何学の局所的な 構造を定めるのに対し、G はクライン幾何学 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 大域的な 構造を定めるものであるため、G が不要である事による。
リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G は一意ではなく[注 4] G はカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではG を（ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
そこでG に直接言及せず、 ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
以下、特に断りがなければ、 ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} [注 6] ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} 効果的 であるとは、 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} { 0 } {\displaystyle \{0\}} G 、H を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} X = G / H {\displaystyle X=G/H} K := { g ∈ G ∣ ∀ x ∈ X : g x = x } {\displaystyle K:=\{g\in G\mid \forall x\in X~:~gx=x\}} K が離散群 になる事と同値である[18]
定義 (無限小クライン幾何学によるカルタン幾何学の定義) ― M を多様体とし、 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} H -主バンドルとし、ω をクライン幾何学によるカルタン幾何学の定義 の条件を満たすP 上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} このとき、組 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} H を伴う ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} M 上のカルタン幾何学英 : Cartan geometry on M modeled on ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} with H ）という[12]
カルタン幾何学としてのクライン幾何学 本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} M = G / H {\displaystyle M=G/H} u 0 = [ e ] {\displaystyle u_{0}=[e]} [ e ] {\displaystyle [e]} G の単位元e の同値類である。このとき
π : g ∈ G ↦ g u 0 ∈ M {\displaystyle \pi ~:~g\in G\mapsto gu_{0}\in M} は自然にH -主バンドルとみなせる。G 上のモーレー・カルタン形式 ω G {\displaystyle \omega ^{G}} ( π , G , μ ) {\displaystyle (\pi ,G,\mu )} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)}
局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学 リー群G とその閉部分リー群の組 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} [注 7] G の離散部分群 Γ {\displaystyle \Gamma } G / H {\displaystyle G/H} G からの作用 G ↷ G / H {\displaystyle G\curvearrowright G/H} Γ {\displaystyle \Gamma } Γ ↷ G / H {\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H} Γ ↷ G / H {\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H} Γ ∩ H = { e } {\displaystyle \Gamma \cap H=\{e\}} Γ ↷ G / H {\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H} M = Γ ∖ G / H {\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H} M が連結なとき、 ( G , H , Γ ) {\displaystyle (G,H,\Gamma )} 局所クライン幾何学 （英 : locally Klein geometry ）という[20]
局所クライン幾何学M 上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まず Γ ↷ G / H {\displaystyle \Gamma \curvearrowright G/H} P = Γ ∖ G {\displaystyle P=\Gamma \backslash G} 商写像
π : P = Γ ∖ G → M = Γ ∖ G / H {\displaystyle \pi ~:~P=\Gamma \backslash G\to M=\Gamma \backslash G/H} には自然にH -主バンドルの構造が入る[注 8] G 上のモーレー・カルタン形式 ω G {\displaystyle \omega ^{G}} q : G → Γ ∖ G {\displaystyle q~:~G\to \Gamma \backslash G}
π ∗ ( ω Γ ∖ G ) = ω G {\displaystyle \pi ^{*}(\omega ^{\Gamma \backslash G})=\omega ^{G}} を満たす一意な g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ω Γ ∖ G {\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}} P = Γ ∖ G {\displaystyle P=\Gamma \backslash G} ω Γ ∖ G {\displaystyle \omega ^{\Gamma \backslash G}} M = Γ ∖ G / H {\displaystyle M=\Gamma \backslash G/H} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} ( π , P , ω Γ ∖ G ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega ^{\Gamma \backslash G})} [20]
カルタン幾何学の（局所）幾何学的同型 ２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：
定義 ― ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M1 、M2 を多様体とし、 ( π 1 , P 1 , ω 1 ) {\displaystyle (\pi _{1},P_{1},\omega _{1})} ( π 2 , P 2 , ω 2 ) {\displaystyle (\pi _{2},P_{2},\omega _{2})} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M1 、M2 上のカルタン幾何学とする。
バンドル写像
( f , f ~ ) : ( M 1 , P 1 ) → ( M 2 , P 2 ) {\displaystyle (f,{\tilde {f}})~:~(M_{1},P_{1})\to (M_{2},P_{2})} で f : M 1 → M 2 {\displaystyle f~:~M_{1}\to M_{2}} f ~ : M ~ 1 → M ~ 2 {\displaystyle {\tilde {f}}~:~{\tilde {M}}_{1}\to {\tilde {M}}_{2}} ω 2 {\displaystyle \omega _{2}}
f ∗ ( ω 2 ) = ω 1 {\displaystyle f^{*}(\omega _{2})=\omega _{1}} となるものをカルタン幾何学間の局所幾何学的同型 （英 : local geometric isomorphism ）という[21] f が（可微分）同相写像であれば、 ( f , f ~ ) {\displaystyle (f,{\tilde {f}})} 幾何学的同型 （英 : geometric isomorphism ）という[21]
定数ベクトル場と普遍共変微分 任意の p ∈ P {\displaystyle p\in P} ω : T p P → ∼ g {\displaystyle \omega ~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}} TP はω により
T P ≈ P × g {\displaystyle TP\approx P\times {\mathfrak {g}}} という同一視ができ、TP はベクトルバンドル として自明である。
よって特に A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} p ∈ P {\displaystyle p\in P} ω の逆写像でTp P に移すことで、TP 上のベクトル場 を作る事ができる。
定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：
モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分 を導く。これについては後述 。
接バンドル 本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。
( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M 上のカルタン幾何学とする。 A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } H の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 随伴表現 である（ので A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} A d {\displaystyle \mathrm {Ad} } H の g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} H はH -主バンドルP に作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル
P × H , A d g / h {\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：
定理 (接バンドルと無限小クライン幾何学の関係 ― ベクトルバンドルとしての同型
P × H , A d g / h ≈ T M {\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM} が成立する[24]
具体的には写像
[ ( p , [ A ] ) ] ∈ P × H , A d g / h ↦ π ∗ ( ω p − 1 ( A ) ) ∈ T M {\displaystyle [(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\mapsto \pi _{*}(\omega _{p}{}^{-1}(A))\in TM} はwell-defined であり、ベクトルバンドルとしての同型写像である[24] ω p − 1 ( A ) {\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}(A)} ω p : T p P → ∼ g {\displaystyle \omega _{p}~:~T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}} ω p − 1 {\displaystyle \omega _{p}{}^{-1}} A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} T p P {\displaystyle T_{p}P}
曲率 定義 クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式ωG と等しいので、カルタン接続は構造方程式
d ω G + 1 2 [ ω G , ω G ] = 0 {\displaystyle d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0} を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：
定義 (曲率) ― カルタン接続ω を持つ多様体M 上のカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} P 上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Ω := d ω + 1 2 [ ω , ω ] {\displaystyle \Omega :=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]} をカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} 曲率 （英 : curvature ）という[12]
Ω は（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率 は恒等的に0である。
曲率は以下を満たす：
定理 (カルタン接続のビアンキ恒等式 ― カルタン接続ω とその曲率Ω は下記の恒等式（ビアンキ恒等式 、英 : Bianchi identity ）を満たす[25]
d Ω = [ Ω , ω ] {\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]} 点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} Pu にはH が単純推移的に 作用するので、 p ∈ P u {\displaystyle p\in P_{u}} h ∈ H ↦ p h ∈ P u {\displaystyle h\in H\mapsto ph\in P_{u}} H とPu を同一視すると、TPu 上にモーレー・カルタン形式ωH が定義できる。しかもωH は p ∈ P u {\displaystyle p\in P_{u}} Pu への制限はωH に一致する。
なお、実はv 、w の少なくとも一方がTp Pu に属していれば、 Ω p ( v , w ) = 0 {\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0} [26]
このΩ' は次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。
曲率関数 ω p T p P → ∼ g {\displaystyle \omega _{p}T_{p}P{\overset {\sim }{\to }}{\mathfrak {g}}} 同型写像 であったことから、写像の合成
∧ 2 g → ∼ ∧ 2 T p P → Ω g {\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\wedge ^{2}T_{p}P{\overset {\Omega }{\to }}{\mathfrak {g}}} を定義できる。またすでに述べたようにv 、w の少なくとも一方がTp Pu に属していれば、 Ω p ( v , w ) = 0 {\displaystyle \Omega _{p}(v,w)=0} [26] ∧ 2 g / h {\displaystyle \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
曲率 Ω : ∧ 2 T p P ≈ ∧ 2 g → g {\displaystyle \Omega ~:~\wedge ^{2}T_{p}P\approx \wedge ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} M 上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Ω' を誘導する事を前に見た 。このΩ' は曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。
Ω : ⋀ 2 T p P ≈ ⋀ 2 g → g π ∗ ↓ ↻ ↓ ↻ | | Ω ′ : ⋀ 2 T π ( p ) M ≈ ⋀ 2 g / h → K p g {\displaystyle {\begin{array}{cccccc}\Omega ~:~&\bigwedge ^{2}T_{p}P&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}&\to &{\mathfrak {g}}\\&\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow &\circlearrowright &||\\\Omega '~:~&\bigwedge ^{2}T_{\pi (p)}M&\approx &\bigwedge ^{2}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}&{\overset {K_{p}}{\to }}&{\mathfrak {g}}\end{array}}} 捩率 さらに以下の定義をする：
モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソル に一致する。詳細は後述。
標準形式 本節の目標は、商写像
ρ : g → g / h {\displaystyle \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} とカルタン接続の合成 ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega }
まず、 ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega }
ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega } P × H g / h → ∼ T M {\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} e 1 , … , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
P × H , A d g / h → ∼ T M {\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}{\overset {\sim }{\to }}TM} による [ p , e i ] {\displaystyle [p,e_{i}]} e i p {\displaystyle e_{i}^{p}} e p := ( e 1 p , … , e m p ) {\displaystyle e^{p}:=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})} T π ( p ) M {\displaystyle T_{\pi (p)}M}
よって特に、 F := { e p ∣ p ∈ P } {\displaystyle F:=\{e^{p}\mid p\in P\}} F はM 上のフレームバンドル（英語版 ） （＝各点のファイバーがTM の基底からなるバンドル）になる[28]
一般には対応
p ∈ P ↦ e p ∈ F {\displaystyle p\in P\mapsto e^{p}\in F} は全単射 ではないが、 P × H , A d g / h {\displaystyle P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
以上の準備のもと、 ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega }
定理 ( ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega } の解釈 ― 記号を上と同様に取り、カルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} e 1 , … , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} g / h ≈ R m {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}} v ∈ T p P ≈ T e p F {\displaystyle v\in T_{p}P\approx T_{e^{p}}F}
ρ ∘ ω ( v ) ∈ g / h ≈ R m {\displaystyle \rho \circ \omega (v)\in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx \mathbb {R} ^{m}} は基底 e p = ( e 1 p , … , e m p ) {\displaystyle e^{p}=(e_{1}^{p},\ldots ,e_{m}^{p})} π ( v ) {\displaystyle \pi (v)} t ( v 1 , … , v m ) ∈ R m {\displaystyle {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})\in \mathbb {R} ^{m}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} [30] [注 11]
上記のような、 v ∈ T e F {\displaystyle v\in T_{e}F} π ∗ ( v ) = v i e i {\displaystyle \pi _{*}(v)=v^{i}e_{i}} t ( v 1 , … , v m ) {\displaystyle {}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{m})} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 標準形式 （英 : canonical form ）という[31] ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega }
簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 本節ではモデル幾何学 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
定義 まず簡約可能性を定義する：
なお、 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}
G が2つのリー群の半直積 G = H ⋉ B {\displaystyle G=H\ltimes B} G 、H に対応するモデル幾何学 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} B のリー代数を b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} [35]
よって特にユークリッド幾何学 の等長変換群 I s o ( E m ) {\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})} 直交群 O ( m ) {\displaystyle O(m)} アフィン幾何学 も同様である。
カルタン接続の分解 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M 上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} h ⊕ b = g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}={\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} ω : T P → g {\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
ω = ω h + ω b {\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}} のように「 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}
したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}}
一方、 ω b {\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}}
b ⊂ g → ρ g / h {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} により b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} ω b {\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}} ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega } ρ ∘ ω {\displaystyle \rho \circ \omega }
したがって分解 ω = ω h + ω b {\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {h} }+\omega _{\mathrm {b} }} ω {\displaystyle \omega } 接続形式 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}
前述 した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像 」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する[36]
Koszul接続 モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続ω から定義される ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} H -主バンドルP の接続形式になる。ベクトル空間V 上のH の線形表現 γ : H → G L ( V ) {\displaystyle \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)} ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続） の一般論から、接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} M 上のベクトルバンドル E := P × H , γ V {\displaystyle E:=P\times _{H,\gamma }V} [37]
よって特に、接バンドルは
T M ≈ P × H , A d g / h {\displaystyle TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} と書けたので、 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} TM 上のKoszul接続、すなわちアフィン接続 ∇ を定める。
このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても 、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。
しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群 G の g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} T M ≈ P × H , A d g / h {\displaystyle TM\approx P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} 後述 するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。
普遍共変微分との関係 γ : H → G L ( V ) {\displaystyle \gamma ~:~H\to \mathrm {GL} (V)} V 上のH の線形表現 とし、 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} M 上のベクトルバンドル E := P × H , γ V {\displaystyle E:=P\times _{H,\gamma }V} ∇ とする。
E の切断s と p ∈ P {\displaystyle p\in P} s π ( p ) = [ p , f s ( p ) ] ∈ P × H , γ V = E {\displaystyle s_{\pi (p)}=[p,f_{s}(p)]\in P\times _{H,\gamma }V=E} f s ( p ) {\displaystyle f_{s}(p)} fs はP からV への関数 f s : P → V {\displaystyle f_{s}~:~P\to V}
上記のように D ω b ( X ~ ) f s {\displaystyle D_{\omega _{\mathfrak {b}}({\tilde {X}})}f_{s}} ∇ X s {\displaystyle \nabla {}_{X}s} D ω h ( X ~ ) f s {\displaystyle D_{\omega _{\mathfrak {h}}({\tilde {X}})}f_{s}}
曲率の分解 本節ではモデル幾何学 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} g = h + b {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}}
[ b , b ] ⊂ b {\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}} となっている場合、すなわち b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}
先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えば g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G が2つのリー群の半直積 G = H ⋉ B {\displaystyle G=H\ltimes B} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} B のリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群 A f f m {\displaystyle \mathrm {Aff} _{m}} G L m ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )} B = R m {\displaystyle B=\mathbb {R} ^{m}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} B のリー代数とすると、
[ b , b ] = { 0 } {\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}} というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。
曲率Ω は g = h + b {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {b}}}
Ω = Ω h + Ω b {\displaystyle \Omega =\Omega _{\mathfrak {h}}+\Omega _{\mathfrak {b}}} と「 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} Ω h {\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} Ω b {\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}} b ⊂ g → ρ g / h {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}{\overset {\rho }{\to }}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} b ≈ g / h {\displaystyle {\mathfrak {b}}\approx {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
Ω b ≈ ρ ( Ω ) = τ {\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}\approx \rho (\Omega )=\tau } と Ω b {\displaystyle \Omega _{\mathfrak {b}}} カルタン幾何学の捩率 τ = ρ ( Ω ) {\displaystyle \tau =\rho (\Omega )}
とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} A f f m = G L m ( R ) ⋉ R m {\displaystyle \mathrm {Aff} _{m}=\mathrm {GL} _{m}(\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{m}} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率 であるとみなせる。
構造方程式 曲率の定義から、
Ω = d ω + 1 2 [ ω , ω ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]} = d ω h + d ω b + 1 2 [ ω h , ω h ] + [ ω h , ω b ] + 1 2 [ ω b , ω b ] {\displaystyle =d\omega _{\mathfrak {h}}+d\omega _{\mathfrak {b}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]} が成立するので、仮定 [ b , b ] ⊂ b {\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}
ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} が接続形式に対応している事 から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} 第二構造方程式 である事がわかる。よって特に、 Ω h {\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}} 曲率形式 である事がわかる。したがって
一方2本目の式において ω b {\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}} T P → ω g → g / h ≈ b {\displaystyle TP{\overset {\omega }{\to }}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}} 標準形式θ として解釈 できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のように [ b , b ] = { 0 } {\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}}
τ ≈ d θ + [ ω h , θ ] {\displaystyle \tau \approx d\theta +[\omega _{\mathfrak {h}},\theta ]} となり、第一構造方程式 に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} TM によって定まる主接続の捩率テンソル
ビアンキ恒等式 前述したカルタン接続のビアンキ恒等式
d Ω = [ Ω , ω ] {\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]} を「 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}}
ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} が接続形式に対応している事 から、上記の定理の1本目の式は接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} 第二ビアンキ恒等式 である。
一方、2本目の式は、構造方程式の場合 と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のように [ b , b ] = { 0 } {\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]=\{0\}}
d τ ≈ [ τ , ω h ] + [ Ω h , θ ] {\displaystyle d\tau \approx [\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\theta ]} と第一ビアンキ恒等式 に一致する。
曲線の発展 P 上の発展 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} M 上のカルタン幾何学とし、 φ : [ a , b ] → P {\displaystyle \varphi ~:~[a,b]\to P} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} P 上の曲線とするt を[a ,b ] 上の点とすると、 T φ ( t ) P {\displaystyle T_{\varphi (t)}P} ω により g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
モーレー・カルタン形式 ω G {\displaystyle \omega ^{G}} G 上の接ベクトルをG の作用により g = T e G {\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} d φ ~ d t ( t ) {\displaystyle {\tfrac {d{\tilde {\varphi }}}{dt}}(t)} G の作用による移動を除いて ω ( d φ d t ( t ) ) {\displaystyle \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t)\right)}
上記の定理の直観的な意味を説明する。クライン幾何学 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} G は等質空間 G / H {\displaystyle G/H} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G / H {\displaystyle G/H}
カルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} M とは「一次近似」がクライン幾何学に見える空間であり、Tp P の元vp はカルタン接続により g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ω ( v p ) {\displaystyle \omega (v_{p})} π ( u ) {\displaystyle \pi (u)}
上記の定理は曲線 φ {\displaystyle \varphi } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ω ( d φ d t ( t ) ) {\displaystyle \omega \left({\tfrac {d\varphi }{dt}}(t)\right)} 積分曲線 」として同型変換であるG の元 φ ~ ( t ) {\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t)}
もしM が G / H {\displaystyle G/H} φ ~ ( t ) {\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t)} M 上の同型変換になる事を後述 する。
M 上の発展 q : G → G / H {\displaystyle q~:~G\to G/H} G から G / H {\displaystyle G/H}
ホロノミー M が連結であるとし、 u 0 ∈ M {\displaystyle u_{0}\in M} π ( p 0 ) = u 0 {\displaystyle \pi (p_{0})=u_{0}} p 0 ∈ P {\displaystyle p_{0}\in P} c : [ a , b ] → M {\displaystyle c~:~[a,b]\to M} u0 を基点とするM 上の閉曲線とする。 π ( φ ( t ) ) = c ( t ) {\displaystyle \pi (\varphi (t))=c(t)} P 上の閉曲線 φ : [ a , b ] → P {\displaystyle \varphi ~:~[a,b]\to P} p0 を基点とするものとすると、前述した補題 から、 φ {\displaystyle \varphi } e ∈ G {\displaystyle e\in G} φ ~ : I → G {\displaystyle {\tilde {\varphi }}~:~I\to G} φ ~ ( b ) {\displaystyle {\tilde {\varphi }}(b)} φ {\displaystyle \varphi }
定理・定義 ― 記号を上のように取り、 Ω ( M , u 0 ) {\displaystyle \Omega (M,u_{0})} u0 を基点とする閉曲線全体の空間（英語版 ） とする。このとき、
Φ p 0 : c ∈ Ω ( M , u 0 ) ↦ ( φ ~ {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}~:~c\in \Omega (M,u_{0})\mapsto ({\tilde {\varphi }}} ) ∈ G {\displaystyle )\in G} は閉曲線の結合に関して準同型 であり、 Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} G の部分群をなす。
Φ p 0 ( c ) {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(c)} c の基点u0 のリフトp0 に関するホロノミー （英 : holonomy with respect to p0 ）[41] Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} p0 に関するM 上のカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ホロノミー群 （英 : holonomy group of ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} with respect to p0 ）[41] [注 17]
ホロノミー群は基点やそのリフトを取り替えても、共役を除いて一意に定義できる。実際、基点u0 のリフトp0 を別の点p0 h , where h ∈ H {\displaystyle h\in H} Φ p 0 h ( c ) = h − 1 Φ p 0 ( c ) h {\displaystyle \Phi ^{p_{0}h}(c)=h^{-1}\Phi ^{p_{0}}(c)h} [41] u0 を別の基点u1 に変えると、 Φ p 1 ( Ω ( M , u 1 ) ) = g − 1 Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) g {\displaystyle \Phi ^{p_{1}}(\Omega (M,u_{1}))=g^{-1}\Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))g} g ∈ G {\displaystyle g\in G} [41]
Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} Φ 0 p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} 正規部分群 になる[41] Φ 0 p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} 制限ホロノミー群 （英 : restricted holonomy group ）という[41]
写像 Ω ( M , u 0 ) → Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) → Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) / Φ 0 p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \Omega (M,u_{0})\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))/\Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} 基本群 π 1 ( M , u 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(M,u_{0})}
π 1 ( M , u 0 ) → Φ p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) / Φ 0 p 0 ( Ω ( M , u 0 ) ) {\displaystyle \pi _{1}(M,u_{0})\to \Phi ^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))/\Phi _{0}^{p_{0}}(\Omega (M,u_{0}))} をwell-definedに誘導する。上記の写像をカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} モノドロミー表現 （英 : monodromy representation of ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ）という[41]
一般化円と測地線 特にクライン幾何学 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} G / H {\displaystyle G/H} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} [注 18] [注 19] G / H {\displaystyle G/H} [41] 螺旋 になる事もあるので注意されたい[注 20]
( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} g = h ⊕ b {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {b}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} G 上の1-パラメーター変換群の軌跡[注 18] G / H {\displaystyle G/H} 直線 （英 : straight line ）という。
この事実を使うと、一般化円と測地線は以下のように言い換える事ができる：
前述 したように、 ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} TM 上にアフィン接続∇ が定義できるので、 ∇ d t d d t c = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0}
証明
証明に入る前にまず記号を整理し、簡単な考察をする。H を構造群とする主バンドル P {\displaystyle P} TM 上のH -フレームバンドル F H {\displaystyle F_{H}}
各 e ∈ F H ( T M ) ≈ P {\displaystyle e\in F_{H}(TM)\approx P} ω : T p F H ( T M ) → g {\displaystyle \omega ~:~T_{p}F_{H}(TM)\to {\mathfrak {g}}} T F H ≈ F H × g {\displaystyle TF_{H}\approx F_{H}\times {\mathfrak {g}}} ρ : g → g / h ≈ b {\displaystyle \rho ~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx {\mathfrak {b}}}
T F H ≈ F H × g π ∗ ↓ ↻ ρ ↓ T M ≈ F H × H b {\displaystyle {\begin{array}{ccc}TF_{H}&\approx &F_{H}\times {\mathfrak {g}}\\\pi _{*}\downarrow &\circlearrowright &\rho \downarrow \\TM&\approx &F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}\end{array}}} が描け、 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} v = ( v 1 , … , v m ) {\displaystyle v=(v^{1},\ldots ,v^{m})} e = ( e 1 , … , e m ) ∈ F H {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}} v の組 [ e , v ] ∈ F H × H b {\displaystyle [e,v]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}} TM の元は ∑ i v i e i {\displaystyle \textstyle \sum _{i}v^{i}e_{i}}
∇ は ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} アフィン接続 であったので、以上のことからM 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} FH の切断 e ( t ) = ( e 1 ( t ) , … , e m ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} e ( t ) = ( e 1 ( t ) , … , e m ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} TM の基底とみなしたとき、 e ( t ) = ( e 1 ( t ) , … , e m ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} ∇ に関して平行な基底である事である。
（ ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } M 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} カルタン幾何学における測地線の定義 を満たせば、測地線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} B ∈ b {\displaystyle B\in {\mathfrak {b}}} e = ( e 1 , … , e m ) ∈ F H ( T M ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{m})\in F_{H}(TM)}
c ( t ) = π ( e ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\pi (e(t))} e ( t ) = exp ( t ω − 1 ( B ) ) ( e ) ∈ F H {\displaystyle e(t)=\exp(t\omega ^{-1}(B))(e)\in F_{H}} と書けるので、前述の可換図式から
d c d t ( t ) ∈ T M ≈ [ e ( t ) , B ] ∈ F H × H b {\displaystyle {dc \over dt}(t)\in TM\approx [e(t),B]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}} である。基底 e ( t ) {\displaystyle e(t)} c ( t ) {\displaystyle c(t)} d c d t {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}} c ( t ) {\displaystyle c(t)} ∇ d t d d t c = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0}
（ ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } M 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} ∇ d t d d t c = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c=0} d c d t {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}} c ( t ) {\displaystyle c(t)} e ( t ) = ( e 1 ( t ) , … , e m ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} c ( t ) {\displaystyle c(t)}
d c d t ( t ) ∈ T M ≈ [ e ( t ) , B ] ∈ F H × H b {\displaystyle {dc \over dt}(t)\in TM\approx [e(t),B]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}} となる B ∈ b {\displaystyle B\in {\mathfrak {b}}}
c ( t ) = π ( e ( t ) ) {\displaystyle c(t)=\pi (e(t))} e ( t ) = exp ( t ω − 1 ( B ) ) ( e ) ∈ F H {\displaystyle e(t)=\exp(t\omega ^{-1}(B))(e)\in F_{H}} と書ける。
クライン幾何学との関係 カルタン幾何学はクライン幾何学をモデルとしており、しかも（局所）クライン幾何学はカルタン幾何学として平坦 （英 : flat ）、すなわち曲率が恒等的に0である事を前述した。
本章はこの逆向きについて述べる。すなわち平坦なカルタン幾何学がいかなる条件を満たせば局所クライン幾何学 と等しいかを特定するのが本章の目標である。
ダルブー導関数 の一般論から、以下が従う：
定理 ― ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} M を多様体とし、 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} M 上のカルタン幾何学とする。
このとき、M の普遍被覆空間 q : M ~ → M {\displaystyle q^{:}~{\tilde {M}}\to M} π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} ω を引き戻したものをそれぞれ π ~ : P ~ → M ~ {\displaystyle {\tilde {\pi }}~:~{\tilde {P}}\to {\tilde {M}}} ω ~ {\displaystyle {\tilde {\omega }}}
このとき ( π ~ , P ~ , ω ~ ) {\displaystyle ({\tilde {\pi }},{\tilde {P}},{\tilde {\omega }})} M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} ( G , H ) {\displaystyle (G,H)}
( f , f ¯ ) : ( M ~ , P ~ ) → ( G / H , G ) {\displaystyle (f,{\bar {f}})~:~({\tilde {M}},{\tilde {P}})\to (G/H,G)} が存在する[44]
よって特に、M の点u の十分小さい開近傍 U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( π | U , P U , ω U ) {\displaystyle (\pi |_{U},P_{U},\omega _{U})} U の M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} ( U , P U ) → ( G / H , G ) {\displaystyle (U,P_{U})\to (G/H,G)} [45]
このように被覆空間を考えたり、あるいは各点の開近傍に制限したりすれば、平坦なカルタン幾何学がクライン幾何学に局所幾何学的同型である事を示す事ができる。しかしこれだけではM 自身が（局所）クライン幾何学と幾何学的同型になるか否かはわからない。
そこで本章ではまずM 自身が局所クライン幾何学と幾何学的同型になる条件を定式化し、次にこれらの条件を満たす平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と幾何学同型になる事を見る。
条件 本節では平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と同型であるための条件である「幾何学的向き付け可能性 」と「完備性」を定義する。
幾何学的向き 幾何学的向きを定義するため、まず記号を導入する。M を多様体とし、 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M 上のカルタン幾何学とし、G を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} A d : G → G L L i e ( g ) {\displaystyle \mathrm {Ad} ~:G~\to \mathrm {GL} _{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})} [注 21]
a d := A d ∗ : g → g l L i e ( g ) {\displaystyle \mathrm {ad} :=\mathrm {Ad} _{*}~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})} を誘導する。ad はリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G の取り方によらずwell-definedであり、
a d ( A ) ( B ) = [ A , B ] {\displaystyle \mathrm {ad} (A)(B)=[A,B]} が成立する[46] ad とカルタン接続の合成
a d ∘ ω : T P → g l L i e ( g ) {\displaystyle \mathrm {ad} \circ \omega ~:~TP\to {\mathfrak {gl}}_{\mathrm {Lie} }({\mathfrak {g}})} を考え、以下の定義をする：
定理・定義 ― P が連結であれば幾何学的向き付けの定義はp に依存しない[47] P が連結なとき、幾何学的向き付け可能なH の元全体の集合を H o r {\displaystyle H_{\mathrm {or} }} [47]
ad の定義より、曲線 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} P のファイバー P π ( p ) {\displaystyle P_{\pi (p)}} φ ~ ( t ) {\displaystyle {\tilde {\varphi }}(t)} A d ( h ) {\displaystyle \mathrm {Ad} (h)} H e {\displaystyle H_{e}} e を含むH の連結成分 とすると
H e ⊂ H o r {\displaystyle H_{e}\subset H_{\mathrm {or} }} が成立する。
しかし上記の定義は曲線 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} P π ( p ) {\displaystyle P_{\pi (p)}} H or He より大きいこともある。なお、P が連結であれば、H or H の正規部分群 になる事が知られている[47]
定義 ― M を多様体とし、 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M 上のカルタン幾何学でP が連結であるものする[注 23]
H -バンドルP がH or ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} 幾何学的に向き付け可能 （英 : geometrically orientable ）であるという[48] P のH or P の幾何学的向き （英 : geometrically orientation ）という[48] M o r := P / H o r {\displaystyle M_{\mathrm {or} }:=P/H_{\mathrm {or} }} M の幾何学的向き付け被覆 （英 : geometrically orientation cover ）という[48] H = H o r {\displaystyle H=H_{\mathrm {or} }} ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} 幾何学的に向き付けられている （英 : geometrically oriented ）という[48] 次が成立する：
定義 ― 局所クライン幾何学 ( G , H , Γ ) {\displaystyle (G,H,\Gamma )} G が連結なら幾何学的向き付け可能である[48] [注 24]
完備性 M を多様体とし、 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} M 上のカルタン幾何学とする。
定理 ― 局所クライン幾何学 ( G , H , Γ ) {\displaystyle (G,H,\Gamma )}
定式化 完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる：
定義 ― M を連結な多様体とし、 ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )} ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} M 上の ( g , h , H , A d ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},H,\mathrm {Ad} )}
このとき、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G でH を閉部分群 として含むものと、G の部分群Γ で局所クライン幾何学 Γ ∖ G / H {\displaystyle \Gamma \backslash G/H} ( Γ ∖ G , ω Γ ∖ G ) {\displaystyle (\Gamma \backslash G,\omega ^{\Gamma \backslash G})} M とその上のカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )} [50] [注 21]
なお、すでに見たように局所クライン幾何学は平坦かつ完備であり、しかもG が連結であれば局所クライン幾何学はカルタン幾何学として向き付け可能であるので、連結なG を考える場合は、これ以上条件を減らす事はできない。なお、G を固定すると、上述の定理が存在を保証するΓ は共役を除いて一意に定まる：
ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 本章ではモデル幾何学がユークリッド幾何学の場合を考える。すなわち、モデルとするクライン幾何学がユークリッド空間 E m {\displaystyle \mathbb {E} ^{m}} I s o ( E m ) {\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})} O ( m ) {\displaystyle O(m)} ( G , H ) = ( I s o ( E m ) , O ( m ) ) {\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))} M 上のカルタン幾何学 ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
標準的な計量 本節では以下の定理を示す：
これを示すため、 g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} I s o ( E m ) {\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})} Ad により g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} I s o ( E m ) = O ( m ) ⋉ R m {\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}} O ( m ) {\displaystyle O(m)} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
よって g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} O ( m ) {\displaystyle O(m)} q : g / h × g / h → R {\displaystyle q~:~{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to \mathbb {R} } 前述 したように T M ≈ T P × H , A d g / h {\displaystyle TM\approx TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} p ∈ P {\displaystyle p\in P}
φ p : ξ ∈ g / h → [ ( p , ξ ) ] ∈ T P × H , A d g / h ≈ T M {\displaystyle \varphi _{p}~:~\xi \in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to [(p,\xi )]\in TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM} が定義できる。
そこで u ∈ M {\displaystyle u\in M} Tu M の計量を p ∈ P u {\displaystyle p\in P_{u}}
g u ( v , w ) := q ( φ p − 1 ( v ) , φ p − 1 ( w ) ) {\displaystyle g_{u}(v,w):=q(\varphi _{p}{}^{-1}(v),\varphi _{p}{}^{-1}(w))} v , w ∈ T u M {\displaystyle v,w\in T_{u}M} により定義すると g u ( v , w ) {\displaystyle g_{u}(v,w)} p ∈ P u {\displaystyle p\in P_{u}} [52] M 上にリーマン計量g が定まる。
アフィン接続 I s o ( E m ) = O ( m ) ⋉ R m {\displaystyle \mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m})=O(m)\ltimes \mathbb {R} ^{m}} ( g , h ) = ( i s o ( E m ) , o ( m ) ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=({\mathfrak {iso}}(\mathbb {E} ^{m}),{\mathfrak {o}}(m))} b = R m {\displaystyle {\mathfrak {b}}=\mathbb {R} ^{m}} ( G , H ) = ( I s o ( E m ) , O ( m ) ) {\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))}
よって前述 のようにカルタン接続ω を「 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} ω = ω h + ω b {\displaystyle \omega =\omega _{\mathfrak {h}}+\omega _{\mathfrak {b}}} ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} P 上の接続形式になり、 ω b {\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}} ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} ω b {\displaystyle \omega _{\mathfrak {b}}} ω が復元できる事もすでに示した。
接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} TM に誘導するアフィン接続 ∇ {\displaystyle \nabla } ∇ {\displaystyle \nabla }
略証
すでに述べた ようにTM は O ( m ) {\displaystyle O(m)} P を使って
T M ≈ P × H g / h {\displaystyle TM\approx P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} と書け、しかもP は O ( m ) {\displaystyle O(m)} 解釈できた ので、以下P をフレームバンドルとみなしたものをF と書く。前述した 計量の作り方から計量g はF の元を正規直交基底にする。
一方 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}}
h = o ( m ) = { {\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {o}}(m)=\{} 歪対称行列 } {\displaystyle \}} に値を取るので、（F に属する）正規直交基底において接続形式 ω h {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}} ω h = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega _{\mathfrak {h}}=(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} ω i j = − ω j i {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}=-\omega ^{j}{}_{i}} TM の局所的な正規直交基底 e 1 , … , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}
g ( ∇ X e j , e k ) = ∑ i g ( ω i j ( X ) e i , e k ) = ∑ i ω i j ( X ) g ( e i , e k ) = ω k j ( X ) {\displaystyle g(\nabla _{X}e_{j},e_{k})=\sum _{i}g(\omega ^{i}{}_{j}(X)e_{i},e_{k})=\sum _{i}\omega ^{i}{}_{j}(X)g(e_{i},e_{k})=\omega ^{k}{}_{j}(X)} が成立する（最後の等式は i = k {\displaystyle i=k} g ( e i , e k ) = 1 {\displaystyle g(e_{i},e_{k})=1}
g ( ∇ X e j , e k ) + g ( e j , ∇ X e k ) = ω k j ( X ) + ω j k ( X ) = 0 = X g ( e j , e k ) {\displaystyle g(\nabla _{X}e_{j},e_{k})+g(e_{j},\nabla _{X}e_{k})=\omega ^{k}{}_{j}(X)+\omega ^{j}{}_{k}(X)=0=Xg(e_{j},e_{k})} が成立するので、 Y = e j {\displaystyle Y=e_{j}} Z = e k {\displaystyle Z=e_{k}}
しかし ∇ {\displaystyle \nabla } [53] ∇ {\displaystyle \nabla } [注 27] リーマン幾何学の基本定理 より、 ∇ {\displaystyle \nabla } レヴィ・チヴィタ接続 に一致する。
以上の考察から、カルタン幾何学の立場から見るとリーマン幾何学とは、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学で捩率が0 のものとして（計量の定数倍を除き）特徴づけられる幾何学である。
リーマン多様体の発展 上述のようにリーマン多様体にはユークリッド幾何学 ( G , H ) = ( I s o ( E m ) , O ( m ) ) {\displaystyle (G,H)=(\mathrm {Iso} (\mathbb {E} ^{m}),O(m))} ( π , P , ω ) {\displaystyle (\pi ,P,\omega )}
滑りとねじれのない転がし（再掲） m 次元リーマン多様体M 上に曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} c ( t ) {\displaystyle c(t)} M をm 次元平面 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がした [注 28] c ~ ( t ) {\displaystyle {\tilde {c}}(t)}
このとき、次が成立することが知られている：
また、M をm 次元平面 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} t に c ( t ) {\displaystyle c(t)} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} T c ( t ) M {\displaystyle T_{c(t)}M} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
φ t : T c ( t ) M → R m {\displaystyle \varphi _{t}~:~T_{c(t)}M\to \mathbb {R} ^{m}} が定義できる。この写像を使うと、M のレヴィ・チヴィタ接続∇ の幾何学的意味を述べることができる：
すなわち、曲線に沿った v ( t ) {\displaystyle v(t)} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} v ( t ) {\displaystyle v(t)}
よって特に以下が成立する：
脚注 参考文献 
![{\displaystyle d\omega ^{G}+{1 \over 2}[\omega ^{G},\omega ^{G}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83247ba4144627f3f5f14e9b60ce36b07856e90)
に対し、
は同型写像である。
に対し、
に対し、
と
で記述可能である事を要請するのは自然である。
の逆写像である事を要請している。
に定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：
の元は
に移動してしまうので、左からも
を乗じて
を作用させたものと等しくなる事を要請する。
![{\displaystyle [(p,[A])]\in P\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\mapsto \pi _{*}(\omega _{p}{}^{-1}(A))\in TM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e060eff996f52f422fe2e1b9205a49dd72642358)
![{\displaystyle \Omega :=d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bb139392ee3ba5c2cbd56ad930919bba905cc7)
![{\displaystyle d\Omega =[\Omega ,\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e45ca3db177540f0f3115f9f29143df3a40339)
![{\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0115dd015df177d8e12184f8ebd196f789ceb5e7)
![{\displaystyle =d\omega _{\mathfrak {h}}+d\omega _{\mathfrak {b}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a941dc72f747f608412a4baeccf150d47d7f2c)
![{\displaystyle \Omega _{\mathfrak {h}}=d\omega _{\mathfrak {h}}+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587a3dc19f60134e4b56c12b10f2b12bd0d3504e)
![{\displaystyle \tau \approx \Omega _{\mathfrak {b}}=d\omega _{\mathfrak {b}}+[\omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+{1 \over 2}[\omega _{\mathfrak {b}},\omega _{\mathfrak {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f930e729af6786270a813373959753e471ce87)
![{\displaystyle \tau \approx d\theta +[\omega _{\mathfrak {h}},\theta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d0183685d89b5d848751946e544fe72bac24b4)
![{\displaystyle d\Omega _{\mathfrak {g}}=[\Omega _{\mathfrak {g}},\omega _{\mathfrak {g}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86044584ea808b3fa83933dbf2e8c25a8b501b4b)
![{\displaystyle d\tau \approx d\Omega _{\mathfrak {b}}=[\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {b}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\omega _{\mathfrak {h}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9d9aee1a691dc2a52d35071e0844886aff2558)
![{\displaystyle d\tau \approx [\tau ,\omega _{\mathfrak {h}}]+[\Omega _{\mathfrak {h}},\theta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1a96ebd011abc042145975baeefd22241a1a90)
の終点
where
![{\displaystyle {dc \over dt}(t)\in TM\approx [e(t),B]\in F_{H}\times _{H}{\mathfrak {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e6cfe806b3ac07d3dda36a7b9f288ee501d93e)
![{\displaystyle \mathrm {ad} (A)(B)=[A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da16d9560854452ae57471d299554d00c079e35)
に関する単位元
からの発展
は任意の
および任意の
![{\displaystyle \varphi _{p}~:~\xi \in {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to [(p,\xi )]\in TP\times _{H,\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\approx TM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f49629868a476ae1e407927252baa56770ed98)
for
