運動エネルギー

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は

で与えられる^{[注 1]}。

ニュートンの運動方程式が

と表されているとき、この力 F が時刻 t₀ から t₁ の間に為す仕事 ${\displaystyle W_{t_{0}\to t_{1}}}$ は、

となる。従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ から ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}}$ まで、${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {x}}}$ だけ変化したとき、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}}$

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

${\displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.}$

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

${\displaystyle L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)}$

この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 ${\displaystyle q(t)}$ とその時間微分 ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$ 、及び時刻 ${\displaystyle t}$ である。多くの場合、一般化座標として位置 ${\displaystyle x}$ や 回転角 ${\displaystyle \theta }$ とするので、運動エネルギーは

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}}$

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

${\displaystyle H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L}$

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 ${\displaystyle q(t)}$ と一般化運動量 ${\displaystyle p(t)}$ である。元のラグランジアンでポテンシャルが ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$ に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

${\displaystyle p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}}$

${\displaystyle l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}}$

（ l は回転角度 θ に共役な角運動量）となり、運動エネルギーは

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}}$

となる。

注釈

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運動エネルギー

• 位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。