Simple algebraについては「単純多元環」をご覧ください。 |
数学の環論において、(1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない)環 R が単純(たんじゅん、英: simple)であるとは、R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう[1]。
単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という[2]。(さらにネーター的でもある。)単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。
より詳しくは、次が成り立つ[3]。単純環 R について以下は同値:
R を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル I に対し、D を自己準同型環 End(RI) (右から作用すると考える)とすると、R と End(ID) は自然に同型である(後者は左からの作用を考える)。