総乗

積の定義される集合における多項演算
連乗積から転送)

総乗(そうじょう)とは、の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を

などと表す。記号 ギリシャ文字パイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E濃度n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)iI 」とすることができる。この列の総乗を

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

このとき、 と書くことにすると、

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限 の総乗

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数複素数からなる可算列 の無限乗積を定義する。無限乗積 収束するとは2条件

  • ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m)[1]
  • 部分積 pn := xm+1xn (n > m) がゼロでない値 Pmn → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積 が収束するとき、その値を

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4]

また数列 に対して無限乗積 が収束するとき、無限乗積 絶対収束するという[5][3]。無限乗積 が絶対収束するのは無限級数 絶対収束するとき、かつそのときに限る[6][3]

三角関数の無限乗積展開[3]

ウォリス積[7][8]

オイラー乗積

ガンマ関数[3][9][10]

( オイラーの定数である)[3][9]

qポッホハマー記号[11][12][13]

qガンマ関数[12][13][14]

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる[15]

参考文献

  • Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ 

関連項目