Continuum (teoria mnogości)

W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych^[2], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora^[3] metoda przekątniowa.

Continuum dotyczy także twierdzenie mówiące, że zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),}$ tzn.

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}.}$

• dowolny niezdegenerowany, również niewłaściwy, przedział liczb rzeczywistych (ogólniej, każdy niepusty otwarty podzbiór przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ),
• zbiory liczb niewymiernych, przestępnych, zespolonych,
• iloczyn kartezjański dwóch zbiorów mocy continuum,
• rodzina zbiorów borelowskich na prostej (ogólniej, rodzina zbiorów borelowskich w dowolnej przestrzeni spełniającej drugi aksjomat przeliczalności),
• zbiór Cantora, zbiór wszystkich (nieskończonych) ciągów dwuwartościowych.

Osobny artykuł: hipoteza continuum.

Zobacz też: skala alefów i skala betów.

Hipoteza continuum, czyli pytanie o to, czy ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, stało się katalizatorem rozwoju teorii mnogości w początkach XX wieku. Sam problem został rozwiązany częściowo w 1939 roku przez Kurta Gödla^[4] i ostatecznie w 1964 przez Paula Cohena^[5][6].

Jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest fakt mówiący o tym, że zbioru liczb rzeczywistych nie można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów mocy mniejszej niż ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ – innymi słowy, kofinalność ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ jest nieprzeliczalna. Nieprzeliczalna kofinalność liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ jest więc warunkiem koniecznym na to, by ${\displaystyle \kappa }$ „mogła być równa” continuum. Robert M. Solovay udowodnił w istocie, że jest to również warunek wystarczający – dokładniej, pokazał on, że jeżeli teoria mnogości ZFC jest niesprzeczna, to dla pewnego przeliczalnego modelu ZFC, w którym ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności, istnieje rozszerzenie generyczne w którym liczby kardynalne z modelu wyjściowego się nie kolapsują oraz ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\kappa .}$ Solovay wyszedł od przeliczalnego modelu ZFC + GCH do którego dodał ${\displaystyle \kappa }$ liczb losowych (${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności)^[7].