காலமுறைத் தொடர்வரிசை

p காலமுறை இடைவெளி கொண்ட ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை a₁, a₂, a₃, ... ஆனது n இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண் மதிப்புகளுக்கும்,

a_n+p = a_n என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும்.^[1][2][3]

இயல் எண் கணத்தை ஆட்களமாகக் கொண்ட சார்பாகத் தொடர்வரிசையைக் கருதினால், காலமுறைத் தொடர்வரிசையானது, காலமுறைச் சார்பின் சிறப்பு வகையாகும். p இன் எந்தவொரு மிகச்சிறிய மதிப்பிற்குத் தொடர்வரிசையானது p-காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக அமைகிறதோ அம்மதிப்பு "மிகச்சிறிய காலமுறை இடைவெளி"^[1] அல்லது மிகச்சரியான "காலமுறை இடைவெளி" எனப்படும்.

• ஒவ்வொரு மாறிலிச் சார்பின் காலமுறை '1' ஆகும்.

${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$  என்ற தொடர்வரிசையின் மிகச்சிறிய காலமுறை '2'.

1/7 இன் பதின்ம வடிவ விரிவு '6' காலமுறையளவுள்ள தொடர்வரிசை:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

பொதுவாகவே, எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணின் பதின்ம பின்ன விரிவானது இறுதியில் சுழற்சியுள்ள தொடர்வரிசையாக இருக்கும்^[4]

-1 இன் அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை '2' காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசையாகும்:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

எந்தவொரு ஒன்றின் படிமூலத்தின் அடுக்குகளாகவும் அமையும் தொடர்வரிசையானது காலமுறையானதாக இருக்கும். இதேபோல ஒரு குலத்தின் முடிவுறு வரிசைகொண்ட உறுப்புகளின் அடுக்குகளாக அமையும் தொடர்வரிசைகளும் காலமுறைத் தொடர்வரிசைகளாக இருக்கும்.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},}$ k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n},}$ k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.

0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகளை முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டலாக எழுதலாம்:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

ஏற்ற [[ஒன்றின் படிமூலம்|ஒன்றின் படிமூலத்திற்கு, டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மேலுள்ளவற்றை நிறுவலாம்.

ஒரு தொடர்வரிசையின் துவக்கத்திலுள்ள சில எண்களை நீக்குவதன்மூலம் அதனைக் காலமுறையினதாக மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால், அத்தொடர்வரிசையானது "இறுதியாகக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (eventually periodic sequence) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

ஒரு தொடர்வரிசையானது,

${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$ (k போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும்)

என்பதை நிறைவு செய்தால் "அறுதியானக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (ultimately periodic sequence) எனப்படும்^[1]

ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுமானால் அத்தொடர்வரிசையானது, "அணுகல் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (asymptotically periodic sequence) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:x₁, x₂, x₃, ... என்பது அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக இருக்கவேண்டுமானால,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$ ^[3]

என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை a₁, a₂, a₃, ... இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

இதன் உறுப்புகள், 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....என்ற காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுவதால், இது ஒரு அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகும்.