ریاضیاتی تحلیل

ریاضیاتی تحلیل کو وضعیاتی یا بحر فضاء کے وسیع سیاق و سباق میں مطالعہ کرنے کی تحریک تین پہری ہے:

• پہلا، اُنہی اساسی تکانیک کا اطلاق وسیع جماعت کے مسائل پر ہو سکتا ہے (مثل، دالہاتی فضاؤں کا مطالعہ)۔
• دوسرا اور اتنا ہی اہم، تجریدی فضاؤں پر تحلیل کی گہری سمجھ اکثر کلاسیکی مسائل پر راست اطلاق ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، فورئیر تحلیل میں فنکشن‌ات کو خاص مثلثیاتی دالہات کے لامتناہی حاصل جمع کے بطور اظہار کیا جاتا ہے۔ اس طرح فورئیر تحلیل کے استعمال سے آواز کو مختلف تعدد کی خالص سُروں کے منفرد تولیف میں تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ کسی فنکشن کے فورئیر پھیلاؤ کی اصطلاحات کے وزن یا عددی سَر کو لامتناہی بُعدی فضاء (ہلبرٹ فضاء) میں سمتیہ کے اجزا سمجھا جا سکتا ہے۔ اس جامع بیٹھک میں فنکشن‌ات کا مطالعہ فنکشنات کا فضاء اور وقت میں تغیر کے بارے نتائج مشتق کرنے کا سہل طریقہ مہیا کرتا ہے۔ ریاضیاتی اصطلاح میں، جُزوی تفرقی مساوات، جہاں یہ تکنیک متغیروں کی علیحدگی کہلاتی ہے۔
• تیسرا، خاص نتائج مثبوت کرنے کے لیے چاہیے شرائط کا صریح بیان کیا جا سکتا ہے۔ تحلیل‌کار کو پھر بہتر آگاہی ہو جاتی ہے کہ کسی قضیہ کو مثبوت کرنے کے لیے فرضیتوں کے کونسے پہلو چاہیے ہوتے ہیں۔

ریاضیاتی تحلیل میں نیچے دیے ذیلی‌میدان شامل ہیں:

• حقیقی تحلیل، حقیقی متغیر کی فنکشن کے مشتق اور تکامل کا بامشقت مطالعہ۔ اس میں شامل ہے متوالیہ اور ان کی حد، سلسلہ اور ناپ۔
• دالہاتی تحلیل^[3] میں مطالعہ کیا جاتا ہے فنکشنات کی فضاؤں کا اور بناک فضا اور ہلبرٹ فضا جیسے تصور متعارف کرائے جاتے ہیں۔
• مضاعف تحلیل معاملہ کرتا ہے فورئیر تحلیل اور اس کی تجرید سے ۔
• مختلط تحلیل، مختلط مستوی سے اپنے میں نقش ہونے والی فنکشنات جو تفرقاً ہوں کا مطالعہ۔
• عددی تحلیل، استمری ریاضیات کے مسائل کو تقرب کرنے کے الخوارزم کا مطالعہ۔