數學分析

函數

數學分析最基本上係分析緊函數（mathematical function / function）。响概念上，函數可以噉樣想像：攞兩個集，${\displaystyle X}$ 同 ${\displaystyle Y}$ ，一個函數會講明 ${\displaystyle X}$ 裏面嘅每一個元素對應 ${\displaystyle Y}$ 入面嘅邊一個元素^[4][7]；舉個簡單例子說明，有兩個集，

${\displaystyle X=\{1,2,3,4...\}}$

${\displaystyle Y=\{2,4,6,8...\}}$

兩個集之間嘅函數（通常用「${\displaystyle f}$ 」代表）係

${\displaystyle y=2x}$

呢個函數講明「喺 ${\displaystyle X}$ 裏面是但攞個元素 ${\displaystyle x_{i}}$ 嚟睇，${\displaystyle x_{i}}$ 喺 ${\displaystyle Y}$ 入面嘅對應（${\displaystyle y_{i}}$ ）係 ${\displaystyle x_{i}}$ 嘅兩倍」^[7]。函數仲可以按好多特性嚟分類，當中連續函數（continuous function）可以話係數學分析上最重要嗰種函數，簡單講就係「條線唔會斷」嘅函數－呢啲函數亦係對極限（limit；睇下面）嘅思考嘅基礎^[8]。

函數可以用嚟表示變數（variable）之間嘅關係。例如假想家陣有個連住條彈弓嘅波喺彈弓嘅力影響下來回前後噉郁，個波距離 0 點嘅位移（${\displaystyle x}$ ）會隨住時間（${\displaystyle t}$ ）變化，噉講即係話是但搵個時間點 ${\displaystyle t_{i}}$ ，${\displaystyle t_{i}}$ 會係 ${\displaystyle T}$ （所有 ${\displaystyle t}$ 可能值嘅集合）嘅元素，而且會有個相應嘅 ${\displaystyle x}$ 數值（喺 ${\displaystyle t_{i}}$ 嗰點時間嘅 ${\displaystyle x}$ ），所以 ${\displaystyle x=f(t)}$ －而假想研究者知道咗所需嘅物理定律，知道 ${\displaystyle f}$ 係點嘅樣，就可以郁手對 ${\displaystyle x}$ （一個反映個波嘅行為嘅變數）作出數學分析。因為「表達唔同變數之間嘅關係嘅函數」呢家嘢無論喺任何科學同工程學領域上都會用到，數學分析嘅技巧喺各科學工程領域上都有廣泛嘅應用價值^[7]。

數列

數列（sequence）係一種同函數好有啦掕嘅數學物體。一個數列會好似一個集（set）噉由一柞元素組成；而同集唔同，數列係有特定次序嘅，即係例如一個由數組成嘅數列會分「邊個係排第 1 嗰個數」、「邊個係排第 2 嗰個數」... 等等－每個元素都掕住個自然數 ${\displaystyle n}$ ，表示佢喺個數列入面嘅位置^[9][10]，

例：${\displaystyle x_{n}=(2,4,6,8,10,\cdots )}$ ；

而且一個數列可以同一款元素出現喺個數列嘅唔同位置，

例：${\displaystyle x_{n}=(2,4,6,2,4,\cdots )}$ （「2」同「4」都出現咗最少兩次）；

數列可以當係函數嘅一種，指「會將自然數（${\displaystyle n}$ ）轉換成第個數（數列嘅第 ${\displaystyle n}$ 個數）」嘅函數^[9]。

極限

數列嘅一個重要特徵係可以匯合（converge）：想像有個由數組成嘅數列 ${\displaystyle a_{n}=(a_{0},a_{1},a_{2},...)}$ ，依家攞個數列嘅第 ${\displaystyle n}$ 個元素嚟睇，隨住 ${\displaystyle n}$ 嘅數值愈嚟愈大，發現元素 ${\displaystyle n}$ 嘅數值愈嚟愈接近某個特定嘅數值 ${\displaystyle x}$ （即係 ${\displaystyle \mid x-a_{n}\mid }$ 愈嚟愈接近 0），而呢樣嘢用數學符號嚟表達嘅話係噉樣^[1][9]：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x}$

上述呢條式用日常用語講，係指「隨住 ${\displaystyle n}$ 嘅值趨近無限大（${\displaystyle \infty }$ ），${\displaystyle a_{n}}$ 會趨近 ${\displaystyle x}$ 呢個數值」。喺數學上嚟講，如果上述呢點成立，數列 ${\displaystyle a_{n}}$ 就可以算係話有個極限（limit），而呢個極限就係 ${\displaystyle x}$ 。用圖嘅形式嚟表達，如果打戙嗰條軸做 ${\displaystyle a_{n}}$ 嘅值，打橫嗰條軸就做 ${\displaystyle n}$ ，而個數列嘅極限係 0（${\displaystyle x=0}$ ），就會出以下呢幅噉嘅圖：

微分

想像家陣將 ${\displaystyle f}$ 畫做一條線，當中 Y 軸表示 ${\displaystyle f(x)}$ ，X 軸表示 ${\displaystyle x}$ ，而 ${\displaystyle f}$ 出嘅線喺 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 同 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 呢兩點之間係直線（附圖 1），噉條線喺 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 同 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ 之間嘅斜率（slope）${\displaystyle m}$ 响定義上係

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

當中「${\displaystyle \Delta }$ 」呢個符號係希臘字母 Δ（delta），喺數學上意思係「... 嘅改變」噉解，即係「${\displaystyle \Delta y}$ 」表示「${\displaystyle y}$ 嘅改變」（${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$ ），而個斜率 ${\displaystyle m}$ 就反映咗「喺嗰段線之間 ${\displaystyle y}$ 隨 ${\displaystyle x}$ 嘅變率」^[11][12]。

而家想像 ${\displaystyle f}$ 畫出嚟唔係一條直線，而係一條好複雜嘅曲線，例如噉：

呢條線嘅斜率會隨 ${\displaystyle x}$ 嘅數值有所變化。而家喺條線上面是但攞兩點 ${\displaystyle (a,f(a))}$ 同 ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$ 嚟睇，而 ${\displaystyle h}$ 嘅值細到喺嗰段仔可以想像成直線。${\displaystyle f(x)}$ 喺呢兩點之間隨 ${\displaystyle x}$ 嘅斜率係^[11][12]：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}&={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\end{aligned}}}$

微分（differentation）嘅做法建基於函數極限嘅諗頭，嚟表達一個函數嘅瞬間變率（instantaneous rate of change）：而家想像將 ${\displaystyle h}$ 嘅數值變到愈嚟愈細，即係將條線斬做愈嚟愈細嘅橛，會得出 ${\displaystyle f(x)}$ 喺呢兩點之間隨 ${\displaystyle x}$ 嘅導數（derivative），${\displaystyle f'(x)}$ ，即係

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle h}$ 嘅數值一旦細到咁上下，就會變成無窮小量（infinitesimal）－${\displaystyle h>0}$ ，但無限咁接近 0。用日常用語講嘅話，即係話如果將一條曲線斬開做好多極細嘅橛，如果啲橛仔夠細，噉每一橛仔都可以當成一條好短嘅直線，有一個可以有方法決定嘅斜率。如果用圖像方法表示，可以想像好似下圖嗰條線噉樣嘅情況－隨住直線嘅數量（由圖中嘅 ${\displaystyle {\text{n}}}$ 反映）增加，每條直線對應嘅 ${\displaystyle \Delta x}$ 會愈嚟愈細（${\displaystyle \Delta x\to 0}$ ），而條線望落會愈嚟愈似想像中嗰條曲線^[11][12]：

應用例子

因為自然科學同工程學會用函數描述好多嘢（自然現象同人造嘅系統），所以瞬間變率同埋建基於瞬間變率嘅函數分析方法喺好多科學同工程學上嘅研究裏面都有用^[11][12]。牛頓力學（Newtonian mechanics）就會用到導數嘅概念，將速度（${\displaystyle \mathbf {v} }$ ）想像成位移（${\displaystyle \mathbf {r} }$ ）隨時間（${\displaystyle t}$ ）嘅瞬間變率，而加速度（${\displaystyle \mathbf {a} }$ ）就想像成速度隨時間嘅瞬間變率，即係^[13]：

${\displaystyle \mathbf {v} ={\Delta \mathbf {r} \over \Delta {t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\Delta \mathbf {v} \over \Delta {t}}}$

例如下圖嗰幾嚿嘢因為材料等嘅原因而以唔同嘅速度同加速度郁動，不過佢哋嘅 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 都可以想像成 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 隨 ${\displaystyle t}$ 嘅瞬間變率。

簡單例子：假想依家已知

${\displaystyle \mathbf {r} ={\text{C}}t}$ ，

當中 ${\displaystyle {\text{C}}}$ 係一個常數；噉嘅話

${\displaystyle \mathbf {v} =f'(t)={\frac {{\text{C}}(t+h)-{\text{C}}t}{h}}}$ ，當中 ${\displaystyle h}$ 數值極細但大過 0；

${\displaystyle f'(t)={\frac {{\text{C}}t+{\text{C}}h-{\text{C}}t}{h}}}$

${\displaystyle f'(t)={\frac {{\text{C}}h}{h}}}$

${\displaystyle f'(t)={\text{C}}}$

－得出「${\displaystyle \mathbf {v} }$ 係一個常數」^[14]。用日常用語講，有咗微分嘅技術，知道咗「${\displaystyle \mathbf {r} }$ 點隨 ${\displaystyle t}$ 變化」就會知道埋「${\displaystyle \mathbf {v} }$ 點隨 ${\displaystyle t}$ 變化」同「${\displaystyle \mathbf {a} }$ 點隨 ${\displaystyle t}$ 變化」^{[註 1]}；而事實表明咗，有咗用微分嚟做力學分析嘅技巧，就基本上可以分析嗮所有喺地球環境下郁動嘅物體^[15]。喺物理學上，微分仲可以攞嚟分析天體嘅郁動^[16]同流體嘅流動^[17]等好多課題，而工程學又會攞呢啲分析嘅結果嚟思考機械同建築物嘅設計。

積分

積分（integral）係一個同微分好有啦掕嘅概念。喺最簡單最基本嗰種黎曼積分（Riemann integral）當中，積分係噉樣定義嘅^[18][19]：想像家陣有個函數 ${\displaystyle f}$ ，${\displaystyle y=f(x)}$ ；「函數 ${\displaystyle f}$ 由 ${\displaystyle a}$ 去 ${\displaystyle b}$ 嘅積分」用數學符號嚟表達最基本如下：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

而黎曼積分嘅定義如下：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\equiv \lim _{{\text{max }}\Delta x_{k}\to 0}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}}$

上述呢條式講嘅嘢係噉嘅：想像依家將函數 ${\displaystyle f}$ 畫做條線，得出附圖 2 噉嘅線；設 ${\displaystyle a=0}$ 同 ${\displaystyle b=2}$ ，個研究者想計 ${\displaystyle (a,f(a))}$ 、${\displaystyle (a,0)}$ 、${\displaystyle (b,f(b))}$ 、${\displaystyle (b,0)}$ 呢四點之間包住嘅面積係幾多，佢可以噉樣想像^[18]－

• 將 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ 之間嗰段 X 軸斬開做 ${\displaystyle n\times 2}$ 咁多橛（${\displaystyle {\text{step}}=1/n}$ ），並且畫 ${\displaystyle (2n-1)}$ 咁多個長方形喺條線之內；
• 由幅圖睇得出，响 ${\displaystyle n=1}$ 嗰陣，個長方形嘅面積完全唔似研究者想要嘅面積；
• 但又想像依家 ${\displaystyle n}$ 變得極大，畫咗極多個長方形喺條之內，而每個呢啲長方形嘅闊度（${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ）極細（${\displaystyle \Delta x_{k}\to 0}$ ）；
• 每一個呢啲極窄長方形嘅面積係 ${\displaystyle f(x_{k})\times \Delta x_{k}}$ （嗰一點嘅 ${\displaystyle f(x_{k})}$ 乘以 ${\displaystyle \Delta x_{k}}$ ），而呢啲長方形嘅面積加埋（「${\displaystyle \sum }$ 」呢個符號所表達嘅嘢）就會非常接近研究者想要嗰個面積。

簡單講，如果話微分計嘅係一條曲線上指定某一點嘅瞬間斜率，噉積分計嘅就係一條曲線指定某一個間距內（${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ 之間）條線同 X 軸之間嘅面積^[19]。

附圖 2，積分嘅想像圖解；函數 ${\displaystyle f}$ 係「${\displaystyle y=x^{2}}$ 」。

基本定理

積分可以話係將微分做嘅嘢掉返轉頭嚟做，而呢點係微積分基本定理（fundamental theorem of calculus）嘅重要一部份：簡單講嘅話，想像家陣有個函數 ${\displaystyle f}$ ，

${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ （導數嘅定義）；

考慮呢個導數喺是但兩點 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ 之間嘅積分，當中 ${\displaystyle b-a=\Delta x}$ ，

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx}$

呢個積分嘅數值會等同

${\displaystyle f'(x)\times \Delta x}$ （積分嘅定義）；即係話

${\displaystyle ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\times \Delta x}$

${\displaystyle =\Delta y}$

用日常用語講嘅話，攞一個函數 ${\displaystyle f}$ 嘅導數 ${\displaystyle f'}$ 上嘅一極細橛（${\displaystyle b-a=\Delta x}$ ）嚟睇，嗰橛嘅 ${\displaystyle f'}$ 積分數值等同函數 ${\displaystyle f}$ 喺 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ 之間嘅 ${\displaystyle \Delta y}$ ^[20][21]：

${\displaystyle \int _{a}^{x}f'(x)\,dx=f(x)-f(a)}$

積分喺應用數學上都有廣泛嘅用途。例如係正話提到嗰個牛頓力學嘅例子噉，速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 係位移 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 隨時間 ${\displaystyle t}$ 嘅導數，

${\displaystyle \mathbf {v} ={\Delta \mathbf {r} \over \Delta {t}}}$ （睇返上面）

亦即係話是但搵兩點時間點 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ ，嗰兩點時間之間嘅 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 嘅積分數值上會等同件物體喺嗰兩點時間之間嘅 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 變化總數^[15]。

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} \,dt}$

事實係，自然科學同工程學喺分析系統嗰時往往都會想知啲變數會點樣隨時間變化，所以結合微分同積分嘅分析做法－微積分（calculus）－响呢啲領域上極之有用，可以攞嚟（例如）搵出能夠清楚精確噉表達嗮唔同嘅變數分別點樣隨時間變化嘅函數^[22]。

微積分相關嘅諗頭帶起咗動態系統（dynamical system）嘅概念。用日常用語講，動態系統係指啲特性會隨時間變化嘅系統^[23]。舉個例說明，想像一個用條繩吊咗喺天花板嗰度嘅擺^[24]：

• 個擺因為受到某啲力嘅影響，而開始左右來回噉擺（簡諧運動），就噉睇已經可知，個擺嘅位置（${\displaystyle \mathbf {r} }$ ）會隨時間（${\displaystyle t}$ ）而變化，噉即係話個擺嘅速度實係一個唔係 0 嘅數值：

  ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}}$ ，${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$

• 進一步嘅觀察顯示，個 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 都係喺度係噉變（個擺向左移到咁上下就停咗喺度，再改為向右移...），噉即係話個擺嘅加速度都係一個唔係 0 嘅數值：

  ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}$ ，${\displaystyle \mathbf {a} \neq 0}$

... 等等。上述嘅係一個簡化例子，但淨係由上述講嘅嘢經已可知，呢個系統有最少兩個會隨時間變化嘅變數－${\displaystyle \mathbf {r} }$ 同 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ，所以呢個系統係一個動態系統。喺物理學上，動態系統可以用微分嚟定義－如果話一個（由一粒或者多粒粒子組成嘅）系統係一個「動態系統」，即係話呢個系統喺每個時間點嘅狀態都可以用一個多元組嚟表示（有若干個變數），而描述呢個系統嘅方程式當中實會涉及某啲系統變數（${\displaystyle x}$ ）隨時間嘅導數（${\displaystyle \Delta x/\Delta t}$ ）^[25]。

混沌理論

動態系統仲係混沌理論（chaos theory）嘅基礎：喺 19 世紀尾，法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）等嘅研究者喺度諗太陽系啲天體嘅軌跡會點樣隨時間變化，佢哋用微分方程嚟做分析（用到隨時間嘅導數），發覺喺分析多過兩個天體嘅軌道嗰陣，啲現象經已複雜得滯，難以用公式描述，啲模型嘅可能結果由「啲天體冚唪唥都完美噉跟住現有嘅軌跡行」以至極端嘅「其中有粒行星俾重力掟出去太陽系外或者撞落太陽嗰度」都有；打後（用微分方程做）嘅研究又發現，有好多動態系統都有啲噉嘅情況－「只要啲初始條件嘅數值變咗少少，成個系統嘅狀態就會出現極端嘅變化」，而呢點就係混沌理論上所講嘅「混沌」。混沌嘅現象喺天氣、生態系統以至量子力學等多種現象嗰度都會見得到，係廿一世紀初數學界相當重視嘅一套理論^[26]。

例如下圖係混沌理論當中嘅洛倫茲系統（Lorenz system）嘅電腦模擬結果：成個系統有幾個變數同參數，包括 ${\displaystyle {\text{y}}}$ ，幅圖打戙嗰條軸做 ${\displaystyle {\text{y}}}$ ，打橫嗰條軸做時間，設 ${\displaystyle {\text{y}}_{0}}$ 做「${\displaystyle {\text{y}}}$ 嘅初始數值」，唔同色嘅線表示喺唔同 ${\displaystyle {\text{y}}_{0}}$ 之下 ${\displaystyle {\text{y}}}$ 隨時間變化嘅規律。由幅圖睇得出，${\displaystyle {\text{y}}_{0}}$ 係噉咦變咗少少，就會令最後嘅 ${\displaystyle {\text{y}}}$ 變化規律唔同嗮（嗰幾條唔同色嘅線大約去到 ${\displaystyle t=11}$ 嗰陣分開）。

諧波分析（harmonic analysis）係指將函數同訊號表示成基本波形（睇波動）嘅相加。用附圖 3 噉嘅圖解說明：想像一個有交流電（電壓同電流會週期性噉變）嘅電路或者是但一個啲變數數值會週期性噉變嘅系統，而家打戙嗰條軸做某一個點嘅電壓，打橫嗰條軸代表時間（${\displaystyle t}$ ），左圖同右圖下面嘅兩條幼線（${\displaystyle f_{1}}$ 同 ${\displaystyle f_{2}}$ ）代表個別波形嘅活動，而最上面嘅粗線（${\displaystyle H}$ ）代表兩條幼線嘅活動加埋（${\displaystyle H(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)}$ ）－由左圖睇得出，當兩條線嘅活動完全唔同步（即係一個去到最高點嗰陣，另外嗰個啱啱處於最低點），佢哋嘅活動總和會係 0；而右圖就顯示，如果兩條線嘅活動完全同步（兩個同時去到最高點，又同時去到最低點），佢哋嘅活動總和就會到達最大數值。諧波分析做嘅就係攞一啲望落複雜嘅函數，再睇吓每個呢啲函數可唔可以想像成若干個簡單波形（例如正弦波）嘅相加^[27]。

附圖 3

例子：傅利葉變換

諧波分析嘅一個出名應用係傅利葉變換（Fourier transform）：想像家陣有個週期性嘅訊號，個訊號由若干個細啲嘅週期性訊號組成，即係有啲細訊號以 5 Hz 嘅頻率出現（每秒重複 5 次），成一個 5 Hz 嘅正弦波，有啲會以 15 Hz 嘅頻率出現，成一個 15 Hz 嘅正弦波... 如此類推（可以睇埋波動）。呢啲活動嘅總和形成成條線嗰啲整體嘅上上落落，即係話時間點 ${\displaystyle t_{i}}$ 嘅微電壓 ${\displaystyle \xi (t_{i})}$ 可以用類似噉嘅式表示^[28][29]：

${\displaystyle \xi (t_{i})=\sum A\sin(vt+\phi )}$

當中 ${\displaystyle A}$ 係一個波嘅最大振幅，${\displaystyle v}$ 反映頻率，而 ${\displaystyle \phi }$ 就係相位；${\displaystyle A\sin(vt+\phi )}$ 反映嗰個波喺時間點 ${\displaystyle t}$ 嘅振幅，而 ${\displaystyle \sum (...)}$ 就表示唔同頻率嘅波喺 ${\displaystyle t}$ 嘅振幅冚唪唥加埋。好似係以下嘅圖解噉：

傅立葉變換簡單講就係將每個上上落落嘅波形數據拆開，變成組成佢嘅波，估計每個頻率嘅腦電波嘅波幅同相位（例子可以睇腦電波）。傅立葉變換最基本嗰條式如下：

${\displaystyle {X}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt}$ ，

${\displaystyle {X}(\omega )}$ 係一個頻率嘅函數，而 ${\displaystyle x(t)}$ 係一個時間嘅函數^[30]。

• 實分析（real analysis）同複分析（complex analysis）：實分析係指針對實數同實數變數嘅實數函數做嘅數學分析，包括咗一般嘅微積分。而複分析就係指涉及複數嘅數學分析；後者喺好多物理學同工程學嘅分析上都有用^[31]。
• 泛函分析（functional analysis）：研究帶有一啲極限相關結構嘅向量空間，以及係呢啲向量空間之間嘅線性轉換；泛函分析會用到泛函（functional）嘅概念，泛函係所謂嘅「函數嘅函數」，能夠攞嚟表示一個函數同乜嘢物體對應，例如微分就係一種泛函（定義一個函數 ${\displaystyle f}$ 同佢嘅導數 ${\displaystyle f'}$ 之間嘅對應）^[32]。
• 測度（measure）：「一個針對某個集做嘅測度」係指一種有系統噉幫嗰個集嘅一個子集加個數俾佢嘅方法，例如係量度長度噉（幫個子集俾個數嚟表示佢有幾長），而呢個過程可以想像成一個函數－一個測度簡單講就係將一個子集俾個數嚟對應佢（例：咁長咁長嘅話對應 1 厘米、咁長咁長嘅話對應 2 厘米...）；因為噉，測度會用到數學分析嗰啲概念^[33]。
• 逼近理論（approximation theory）：思考點樣用簡單嘅函數嚟逼近複雜嘅函數。想像家陣有個函數 ${\displaystyle P(x)}$ ，個函數能夠完美準確噉描述研究緊嘅現象，但 ${\displaystyle P(x)}$ 複雜得滯，搞到用 ${\displaystyle P(x)}$ 計起數上嚟好撈絞，於是研究者就用某啲方法搵一個新嘅函數 ${\displaystyle f(x)}$ 出嚟，${\displaystyle f(x)}$ 簡單過 ${\displaystyle P(x)}$ ，計起數上嚟冇咁撈絞，而且同時做起預測上嚟得出嘅結果同 ${\displaystyle P(x)}$ 差距唔係咁大－例：是但搵個 ${\displaystyle x}$ 值，${\displaystyle \mid P(x)-f(x)\mid }$ 嘅永遠都會細過某個特定嘅預設數值 ${\displaystyle \theta }$ ^[34][35]：

  ${\displaystyle \forall x,\mid P(x)-f(x)\mid <\theta }$ ；

  • 逼近理論研究嘅嘢正正就係「點樣搵出 ${\displaystyle f(x)}$ 」，喺科學同工程學嘅應用上好有價值^[35]。
• 數值分析（numerical analysis）：研究點樣靠演算法嚟用近似值解決數學分析上撞到嘅問題；喺實際嘅科學同工程學應用上，好多時研究者都淨係需要搵出個近似值就夠用，即係同真嗰個數值差距唔係咁大嘅數值（睇返逼近理論），而數值分析就係想研究點樣用演算法搵出呢啲近似值^[36]。

... 等等。

數學分析嘅概念好多都歷史悠久，而成套理論正式起源係 17 世紀嘅科學革命時期：原則上，數學分析用到嗰啲概念有好多遠至公元前嘅時代經已存在，例如古希臘數學家阿基米德（Archimedes）經已有喺佢嘅著作嗰度用過無窮小量嘅諗頭^[37]；不過，喺 17 世紀打前，世人頂櫳都淨係停留喺「用咗某啲同數學分析相關嘅概念」嘅階段，而到咗 17 世紀嗰陣，歐洲處於科學革命時期，牛頓同萊布尼茲（Leibniz）開創出形式化嘅微積分，可以話係現代數學分析嘅開端－用時間導數分析動態系統、對太陽系嘅研究引起混沌理論嘅諗頭以至傅利葉變換等嘅數學分析技術冚唪唥都係建基於對微分方程等微積分概念嘅分析嘅。到咗今日，數學分析經已成為咗應用數學當中嘅重要一環，好多科學同工程學上嘅研究都實要用到數學分析技術^[38]。

維基同享有多媒體嘅嘢：
Mathematical analysis

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis.
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl.
• Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica.
• Calculus and Analysis.