Diện tích

Phần mặt phẳng bị giới hạn bởi 1 hình

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina phẳng, trong mặt phẳng. Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trên bề mặt hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng sơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn.[1] Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Three shapes on a square grid
Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị

Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với các hình vuông có kích thước cố định.[2] Trong Hệ thống đơn vị quốc tế (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn là mét vuông (viết là m2), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài một mét.[3] Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trong toán học, hình vuông đơn vị được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là một số thực không thứ nguyên.

Có một số công thức nổi tiếng cho các diện tích có hình dạng đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhậthình tròn. Sử dụng các công thức này, diện tích của bất kỳ đa giác nào đều có thể được tính toán bằng cách chia đa giác thành các hình tam giác.[4] Đối với các hình có ranh giới cong, tích phân thường được dùng để tính diện tích. Thật vậy, vấn đề xác định diện tích các hình phẳng là một động lực chính cho sự phát triển lịch sử của tích phân.[5]

Đối với một hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích bề mặt ranh giới của nó được gọi là diện tích bề mặt.[1][6][7] Các công thức cho các diện tích bề mặt của các hình dạng đơn giản đã được người Hy Lạp cổ đại tính toán, nhưng tính toán diện tích bề mặt của một hình dạng phức tạp hơn thường đòi hỏi tích phân đa biến.

Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó trong hình học và tính toán, diện tích có liên quan đến định nghĩa các yếu tố quyết định trong đại số tuyến tính, và là một tính chất cơ bản của các bề mặt trong hình học vi phân. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụng thước đo Lebesgue,[8] mặc dù không phải mọi tập hợp con đều có thể đo được.[9] Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt về thể tích cho các vùng có hai chiều.[1]

Diện tích có thể được xác định thông qua việc sử dụng các tiên đề, xác định nó là một hàm của một tập hợp các hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp các số thực. Nó có thể được chứng minh rằng một hàm như vậy là tồn tại.

Các công thức thông dụngSửa đổi

Các công thức diện tích hay dùng:
Hình Công thức Biến số Cách đọc
Hình chữ nhật    : Chiều dài,  : Chiều rộng. Diện tích bằng tích chiều dài 2 cạnh.
Hình vuông    : Chiều dài cạnh hình vuông. Diện tích bằng bình phương chiều dài 1 cạnh.
Hình bình hành    : Chiều dài 1 cạnh,  : chiều cao tương ứng với a. Diện tích bằng 1 cạnh nhân với chiều cao tương ứng với cạnh đó.
Hình thoi    : Chiều dài 2 đường chéo. Diện tích bằng 1 nửa tích độ dài 2 đường chéo.
Tam giác    : cạnh đáy,  : chiều cao. Diện tích bằng 1 nửa tích chiều dài 1 cạnh với đường cao tương ứng với nó.
Hình tròn    : bán kính. Diện tích bằng số pi nhân với bình phương bán kính
Hình e-líp      độ dài nửa trục thựcnửa trục ảo.
Mặt cầu  , hoặc    : bán kính,  : đường kính hình cầu. Diện tích bằng số Pi nhân với bình phương chiều dài đường kính.
Hình thang     : các cạnh đáy,  : chiều cao. Diện tích bằng trung bình cộng 2 đáy nhân với chiều cao.
Hình trụ tròn    : bán kính,  : chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình trụ    : bán kính,  : chiều cao
Mặt nón    : bán kính,   độ dài đường sinh (slant height).
Diện tích xung quanh của hình nón    : bán kính,   độ dài đường sinh (slant height).
Hình quạt    : bán kính,   số đo góc ở tâm,l là độ dài cung.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă â Weisstein, Eric W.. “Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 5 năm 2012. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2012. 
  2. ^ “Area Formulas”. Math.com. Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 2 tháng 7 năm 2012. 
  3. ^ “Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)”. Bureau International des Poids et Mesures. Bản gốc lưu trữ ngày 28 tháng 7 năm 2012. Truy cập ngày 15 tháng 7 năm 2012. 
  4. ^ Mark de Berg; Marc van Kreveld; Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). “Chapter 3: Polygon Triangulation”. Computational Geometry (ấn bản 2). Springer-Verlag. tr. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3. 
  5. ^ Boyer, Carl B. (1959). A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. ISBN 978-0-486-60509-8. 
  6. ^ Weisstein, Eric W.. “Surface Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc lưu trữ ngày 23 tháng 6 năm 2012. Truy cập ngày 3 tháng 7 năm 2012. 
  7. ^ Foundation, CK-12. “Surface Area”. CK-12 Foundation (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 9 tháng 10 năm 2018. 
  8. ^ Walter Rudin (1966). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6.
  9. ^ Gerald Folland (1999). Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. 20, ISBN 0-471-31716-0