Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues ) :
P n = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n ( n = 0 , 1 , … ) {\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )} aŭ en publika formo:
P n ( x ) = 1 2 n ∑ i = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) i ( n i ) ( 2 n − 2 i n ) x n − 2 i . {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.} Ekvacio de Legendre La ekvacio de Legendre estas la sekvanta: d d x [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] + n ( n + 1 ) y = 0 {\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)y=0}
Polinomo de Legendre de grado n estas P n {\displaystyle P_{n}} n ), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :
d d x [ ( 1 − x 2 ) d P n ( x ) d x ] + n ( n + 1 ) P n ( x ) = 0 , P n ( 1 ) = 1. {\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.}
Oni povas konsideri P n = P n ( 0 , 0 ) {\displaystyle P_{n}=P_{n}^{(0,0)}} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n ligita al parametroj α kaj β.
La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio Δ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi \ =\ 0} sferaj koordinatoj ;ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.
Genera funkcio Atributoj de polinomoj rikura formulo : P n + 1 ( x ) = 2 n + 1 n + 1 x P n ( x ) − n n + 1 P n − 1 ( x ) ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )} orteco en intervalo [-1,1]: ⟨ P m , P n ⟩ = ∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 0 p o u r m ≠ n {\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\qquad \mathrm {pour} \qquad m\neq n} Ekzemploj de polinomoj n P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 x {\displaystyle x\,} 2 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,} 3 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,} 4 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,} 5 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,} 6 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,} 7 1 16 ( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,} 8 1 128 ( 6435 x 8 − 12012 x 6 + 6930 x 4 − 1260 x 2 + 35 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,} 9 1 128 ( 12155 x 9 − 25740 x 7 + 18018 x 5 − 4620 x 3 + 315 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,} 10 1 256 ( 46189 x 10 − 109395 x 8 + 90090 x 6 − 30030 x 4 + 3465 x 2 − 63 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
Skemoj Vidu ankaŭ Akompanaj funkcioj de Legendre 
![{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{i}{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f364d7ee325e013c20670d4fc8027db4b1a86a)
