Legendrepolynom

Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre:

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga P_n(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).

Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa P_n(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom P_n(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$

At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre (1) følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten

${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}(x^{2}-1)^{n}=2nx(x^{2}-1)^{n}}$

og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar.^[1] P_n kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\qquad (1)}$.

I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.