Guľa (matematika)

N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom

${\displaystyle V_{nD}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n}}$

alebo tiež:

${\displaystyle V_{nD}={\begin{cases}\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}}{n!!}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}}$

kde ${\displaystyle \Gamma (1+n/2)}$ je prirodzené zobecnenie výrazu ${\displaystyle (n/2)!}$ pre nepárne n (pozri Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (pozri sféra). Veľkosť jej povrchu (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je

${\displaystyle S_{nD}=n{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}r^{n-1}}$

alebo

${\displaystyle S_{nD}={\begin{cases}n\left({\frac {n}{2}}!\right)^{-1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ párne}}\\2^{\frac {n+1}{2}}{\frac {n}{(n!!)}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1},&{\mbox{pre }}n{\mbox{ nepárne}}\end{cases}}}$

Všeobecne pre n-rozmernú guľu platí:

${\displaystyle S_{nD}(r)={\frac {\mathrm {d} V_{nD}}{\mathrm {d} r}}=V_{nD}'(r)=n{\frac {V_{nD}(r)}{r}}}$

Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Vzorce pre guľu
Obvod (najväčší)	${\displaystyle U\,=\,2\pi r}$
Povrch	${\displaystyle A_{O}\,={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}\,=\,4\pi r^{2}}$
Objem	${\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
Projekčná plocha (plocha tieňa)	${\displaystyle A_{PF}\,=\,\pi r^{2}}$
Objem guľového výseku	${\displaystyle V_{KS}\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}$
Povrch guľového segmentu	${\displaystyle A_{KK}\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}$
Polomer gule	${\displaystyle r\,}$
Výška guľového segmentu	${\displaystyle h\,}$
Moment zotrvačnosti (os prechádza cez stred gule)	${\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}$
Steradián	${\displaystyle \alpha \,}$

Každodenný vzorec pre výpočet objemu gule, teda ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ pramení z integrálu 3D priestoru, zahrnujúc priestorové uhly:

1) ${\displaystyle V=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits _{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi }$ ^[2]

2) ${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}\int \limits _{0}^{r}r^{2}\cos \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi }$

3) ${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {r^{3}}{3}}\cos \theta \operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }[\sin \theta ]_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi }$

4) ${\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }[\sin \theta ]_{-\pi /2}^{\pi /2}\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi }$

5) ${\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }(1-(-1))\operatorname {d} \!\phi ={\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi }$

6) ${\displaystyle {\frac {r^{3}}{3}}\int \limits _{0}^{2\pi }2\operatorname {d} \!\phi ={\frac {2r^{3}}{3}}[\phi ]_{0}^{2\pi }={\frac {2r^{3}}{3}}2\pi ={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$