Sfēra

Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā sfēru, kas ir lodes virsma, apraksta vienādojums

${\displaystyle \,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},}$

kur x₀, y₀, z₀ ir sfēras centra koordinātas un r > 0 ir tās rādiuss. Sfēru ar rādiusu 1 sauc par vienības sfēru. Bieži vien papildus pieņem, ka tās centrs atrodas koordinātu sākumpunktā (x₀ = y₀ = z₀ = 0).

Jebkuri četri punkti, kas neatrodas vienā plaknē, viennozīmīgi nosaka sfēru. Ja šo punktu koordinātas ir (x_i, y_i, z_i), 1 ≤ i ≤ 4, tad caur tiem novilktās sfēras vienādojumu var atrast ar šāda determinanta palīdzību:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\[4pt]x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\[6pt]x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\[6pt]x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\[6pt]x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Sfēriskajā koordinātu sistēmā

Pamatraksts: Sfēriskā koordinātu sistēma

Sfēriskajā koordinātu sistēmā lodes virsmu apraksta vienādojumi

${\displaystyle \,x=x_{0}+r\sin \theta \,\cos \varphi ,}$

${\displaystyle \,y=y_{0}+r\sin \theta \,\sin \varphi ,}$

${\displaystyle \,z=z_{0}+r\cos \theta ,}$

kur parametri θ un φ atbilst attiecīgi platuma un garuma grādiem un tie apmierina nevienādības

${\displaystyle \,0\leq \theta \leq \pi }$ un ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$ ,

kur ${\displaystyle \pi \,}$ = 180°.

Virsmas laukuma elements

Lai atrastu izteiksmi sfēras virsmas laukuma elementam, ir jāizrēķina determinants no Jakobi matricas:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[3pt]{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi &r\cos \theta \,\cos \varphi &-r\sin \theta \,\sin \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi &r\cos \theta \,\sin \varphi &r\sin \theta \,\cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta .}$

Tātad sfēras virsmas laukuma elements sfēriskajās koordinātēs ir

${\displaystyle dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi .}$

Virsmas laukums

Virsmas laukumu sfērai ar rādiusu r var atrast ar integrāļa palīdzību:

${\displaystyle S=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.}$

Lodes tilpums

Tilpums lodei ar rādiusu r ir

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}4\pi r^{2}dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Pamatraksts: Sfēriskā ģeometrija

Sfēriskā ģeometrija ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Galvenie jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā ir lielais riņķis, lielā riņķa loks, sfēriskais trīsstūris un antipodālu punktu pāris.

Pamatraksts: Hipersfēra

Sfēru n > 3 dimensijās sauc arī par hipersfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra.

• Sfēriskā ģeometrija
• Hipersfēra
• Lode
• Banaha-Tarska paradokss
• Smeila paradokss
• Puankarē hipotēze
• Aleksandra "ragainā sfēra"

• Eric W. Weisstein, Sphere, MathWorld.
• Sphere Arhivēts 2011. gada 8. novembrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Alexander's Horned Sphere, MathWorld.

Video:

• Outside In. 2007-02-14. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2007-09-01. Skatīts: 2014-09-10. Datoranimācija, kurā tiek izskaidrots, kā sfēras iekšpusi var “izgriezt uz āru”.
• The Alexander Sphere, YouTube.