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累積カイ二乗検定(るいせきかいじじょうけんてい、累積カイ二乗法、英:Cumulative chi-squared test)は統計学 における仮説検定 の一種である。東京大学の竹内啓 、広津千尋らによって1966年に田口玄一 が導入した累積法[1] [2] 統計学的仮説検定法 である。2つの変数の間、2つの母集団の間に差がないという帰無仮説 に対して、対立仮説 として帰無仮説の棄却ではなく、一つの変数または両方の変数が増加または減少をする傾向性がある、といった対立仮説 を設定する[2] 順序尺度 で表される変数について、投与量の水準 が増加するにつれて反応が変化する、という対立仮説 を立てる[3] 検定法 としてはウィルコクソンの符号順位検定 などがある。
帰無仮説 2つの母集団 A, B から抽出して得られる観測値 y {\displaystyle y} 母集団 の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある k {\displaystyle k} 水準 のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を y i j ( i = 1 , 2 j = 1 , 2 , . . . , k ) {\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)} y i j {\displaystyle y_{ij}} k {\displaystyle k} p i j ( i = 1 , 2 j = 1 , 2 , … , k ) {\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)} 帰無仮説 は2つの母集団 A, B の間に差がないということを表すため次の式になる[2]
H 0 : p 1 j = p 2 j ( j = 1 , 2 , … , k ) {\displaystyle H_{0}:p_{1j}=p_{2j}\ (j=1,2,\ldots ,k)} 対立仮説 単に帰無仮説 を棄却するのであれば対立仮説 は次のようになる
H 1 : p 1 j ≠ p 2 j {\displaystyle H_{1}:p_{1j}\neq p_{2j}} しかしこの対立仮説 ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の対立仮説 を想定する[2]
H 2 : { ( 1 ) p 11 / p 12 ≥ p 21 / p 22 ≥ … ≥ p 1 k / p 2 k ( 2 ) p 11 / p 12 ≤ p 21 / p 22 ≤ … ≤ p 1 k / p 2 k {\displaystyle H_{2}:{\begin{cases}(1)\ p_{11}/p_{12}\geq p_{21}/p_{22}\geq \ldots \geq p_{1k}/p_{2k}\\(2)\ p_{11}/p_{12}\leq p_{21}/p_{22}\leq \ldots \leq p_{1k}/p_{2k}\end{cases}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)} ( 2 ) {\displaystyle (2)} H 3 : { ( 1 ) P 1 j ≥ P 2 j ( j = 1 , 2 , … , k − 1 ) ( 2 ) P 1 j ≤ P 2 j ( j = 1 , 2 , … , k − 1 ) {\displaystyle H_{3}:{\begin{cases}(1)\ P_{1j}\geq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\\(2)\ P_{1j}\leq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\end{cases}}} ( 1 ) {\displaystyle (1)} ( 2 ) {\displaystyle (2)} ただし P i j {\displaystyle P_{ij}} 累積確率 を表す。
P i j = ∑ n = 1 j p i n ( j = 1 , 2 , … , k − 1 ) {\displaystyle P_{ij}=\sum _{n=1}^{j}p_{in}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)} 対立仮説 H 1 {\displaystyle H_{1}} 対立仮説 H 3 {\displaystyle H_{3}} 累積確率 で比較しても同等以上であることを表す[2]
検定統計量 上記の帰無仮説 H 0 {\displaystyle H_{0}} H 0 j {\displaystyle H_{0j}}
H 0 j : P 1 j = P 2 j ( j = 1 , 2 , … , k − 1 ) {\displaystyle H_{0j}:P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)} この H 0 {\displaystyle H_{0}}
χ j 2 = 2 n ( Y 1 j − Y 2 j ) 2 Y ⋅ j ( 2 n − Y ⋅ j ) {\displaystyle {\chi _{j}}^{2}={\frac {2n(Y_{1j}-Y_{2j})^{2}}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}}} ＊ Y i j = ∑ n = 1 j y i n {\displaystyle Y_{ij}=\sum _{n=1}^{j}y_{in}} この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量
χ ∗ 2 = ∑ j = 1 k − 1 χ j 2 {\displaystyle \chi ^{\ast 2}=\sum _{j=1}^{k-1}{\chi _{j}}^{2}} とする[2]
適用 傾向のある対立仮説 を想定する検定問題で
などに用いることができる[2]
用量反応関係 の検定などにおいて累積カイ二乗検定の適用となる分割表 のタイプには次のようなものが挙げられる
m×2 分割表(順序あり) 2×l 分割表(順序あり) m×l 分割表(列に順序あり) m×l 分割表(行・列とも順序あり)[3] 脚注 関連項目 
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