Мера (математика)

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}}$

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина ${\displaystyle \ell }$ со:

${\displaystyle \ell (a,b)=b-a}$

Нека ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ е произволно подмножество од реалните броеви, а ${\displaystyle \{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ е произволна фалимија отворени интервали таква што:

${\displaystyle E\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}={\mathcal {U}}}$

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

${\displaystyle m^{*}(E)=\inf _{E\subseteq {\mathcal {U}}}\left\{\sum _{n=1}^{\infty }\ell (I_{n})\right\}}$

Нека ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за ${\displaystyle E}$ велиме дека е мерливо множество ако:

${\displaystyle \left(\forall A\subseteq \mathbb {R} \right),\,\,\ m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cup E^{c})=m^{*}(A)}$

Ако ${\displaystyle E}$ е мерливо множество, тогаш надворешната мера на ${\displaystyle E}$ се вика Лебегова мера на ${\displaystyle E}$ , и пишуваме:

${\displaystyle m(E)=m^{*}(E)}$

Најважните својства на мерата се:

• Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ важи:

${\displaystyle m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})}$

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\emptyset ,\;i\neq j}$ , тогаш важи:

${\displaystyle m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})}$

• Ако за фамилијата множества ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ со конечна мера важи: ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \dots \supseteq E_{n}\supseteq \dots }$ , тогаш:

${\displaystyle m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }m(E_{n})}$

• Количество
• Должина
• Плоштина
• Волумен