Фуриеов ред

Нека ${\displaystyle f(t)\,}$ е периодична функција со период T, за која важи ${\displaystyle f(t+T)=f(t)\,}$ .Заради периодичноста може да се раздели на N синусни и косинусни функции:

${\displaystyle f(t)=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\ldots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).}$ , ${\displaystyle \omega :=2\cdot \pi \cdot freq}$ , каде ${\displaystyle freq}$ е основна честота, односно хармоник.

Треба да се има на ум дека синусот е само косинус со фазно поместување:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(A_{n}\cos \varphi _{n}\cdot \cos(n\omega t)-A_{n}\sin \varphi _{n}\cdot \sin(n\omega t))}$

Кога се дефинира ${\displaystyle a_{0}:=A_{0}\,}$ , а потоа ${\displaystyle a_{n}:=A_{n}\cos \varphi _{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}:=A_{n}\sin \varphi _{n}}$ се добива ист израз, овој пат без фаза:

${\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).}$

Зошто не се зема tan или на пример cosh? Зошто токму cos и sin? Причината е ортогоналност на sin и cos функциите. ${\displaystyle \cos(t)\cdot \sin(t)=\int _{0}^{2\pi }\cos(t)\cdot \sin(t){d}t=0}$

Зад Фуриеовата трансформација е следната идеја: целиот простор кој има „нормални“ оски се трансформира во простор во кој нови ортогонални оски се косинусните и синусните бранови и нивните виши хармоници. Сигнал кој го трансформираме е само една точка (месен вектор), а вредностите на секоја оска се амплитуди на секој хармоник поединечно

(${\displaystyle [A_{0},\ldots ,A_{N}]}$ ).

Сега се вклучува Ојлеровиот идентитет со чија помош овие тригонометриски функции може да се заменат со комплексни пандани:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)}$ и ${\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)}$

Од тоа понатаму следи

${\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}$

${\displaystyle =a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}$

${\displaystyle =a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})e^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})e^{-\mathrm {i} n\omega t}\right)}$

Ги заменуваме реалните коефициенти со комплексни:

${\displaystyle c_{0}:=a_{0}\,}$ , ${\displaystyle c_{n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}$ и ${\displaystyle c_{-n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})={\overline {c_{n}}}}$

Добиваме сума со негативни индекси:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{\mathrm {i} k\omega t}}$

Исто така, не треба да се губи од вид дека ${\displaystyle e^{\mathrm {i} jt}}$ се исто функции со ортонормална база (секој вектор кој претставува оска има должина 1 и е нормален во однос на сите останати вектори):

Во случај ${\displaystyle j=k}$

${\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} jt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} jt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} jt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1dt=1}$

А за ${\displaystyle j\neq k}$ важи:

${\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} kt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} kt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} kt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} (j-k)t}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left[e^{\mathrm {i} (j-k)t}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left(e^{\mathrm {i} (j-k)2\pi }-1\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\cdot 0=0}$

Сега сакаме некоја периодична и непрекината функција приближно да ја пресметаме со помош на сума од тригонометриски функции (конкретно: косинус и синус). Видовме како можеме да дојдемо до ${\displaystyle c_{j}}$ ; горната равенка ја множиме со ${\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}}$ и на крајот ја интегрираме од двете страни во интервалот [0,T] односно во траење од една периода:

${\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(e^{\mathrm {i} (n\omega t)}e^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} n\omega t}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \int _{0}^{T}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

За интегралите од десната страна важи:

када је n=0: ${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt=\int _{0}^{T}e^{0}=\left[1\right]_{0}^{T}=T}$

а кога е n≠0: ${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=\left[{\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}e^{\mathrm {i} n\omega t}\right]_{0}^{T}}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(e^{\mathrm {i} n\omega T}-1)}$

Од ${\displaystyle \omega T=2\pi }$ следи ${\displaystyle e^{\mathrm {i} n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm {i} })^{n}=1}$ , а тоа понатаму можеме да го примениме на горенаведениот интеграл:

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=0}$

На крајот целата пресметка се упростува:

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle =\sum _{n=-N-m}^{-1}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt+c_{m}\cdot \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt+\sum _{n=1}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle =0+c_{m}T+0=c_{m}T=\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt}$

${\displaystyle \Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt.}$

Во целата пресметка не треба да нè збунува користењето на променливата ${\displaystyle m}$ , нејзината цел е само упростување на равенките. Сето тоа е само досетливост, односно уметност како да се напише едно те исто на поинаков начин.

На крајот, дефинираме Фуријеов ред:

${\displaystyle f_{N}(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{in\omega t}}$

Фуриеовот ред конвергира кон многу функции; тука спаѓаат покрај другите сите функции кои имаат извод или се квадратно интеграбилни (L² простор).

Да претпоставиме дека ${\displaystyle f(t)}$ е една таква функција. Кога ќе го наместиме ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ , тогаш таа исто така може да се напише и вака:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{T}}(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}$

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Fourier series“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• „Fourier Series“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Архивирано на 5 декември 2001 г.