Proporção áurea

Ver também : Tabela das casas decimais de φ

Definição algébrica

Dois valores positivos estão em razão áurea se sua razão é igual à razão da sua soma pela maior das quantidades. Algebricamente, dados ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle a>b>0}$ , então:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\phi .}$

Onde ${\displaystyle \phi }$ representa a razão áurea. O seu valor é constante e pode ser encontrado a partir da definição anterior.

Usando a parte direita da equação, vemos que ${\displaystyle a=b\phi ,}$ o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

${\displaystyle {\frac {b\phi +b}{b\phi }}={\frac {b\phi }{b}}\,.}$

Cancelando b em ambos os lados, temos:

${\displaystyle {\frac {\phi +1}{\phi }}=\phi .}$

Multiplicando ambos os lados por ${\displaystyle \phi ,}$ resulta:

${\displaystyle \phi +1=\phi ^{2}.}$

Finalmente, subtraindo ${\displaystyle \phi ^{2}}$ de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por ${\displaystyle -1,}$ encontramos:

${\displaystyle \phi ^{2}-\phi -1=0,}$ que é uma equação quadrática da forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ em que ${\displaystyle a=1,\ b=-1\ \mathrm {e} \ c=-1.}$

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela fórmula resolutiva de uma equação quadrática:

${\displaystyle \phi ={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle \phi ={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot {1}\cdot {(-1)}}}}{2\cdot {1}}}}$

${\displaystyle \phi ={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}}$

${\displaystyle \phi ={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803398875,}$ que é o número ${\displaystyle \phi .}$

Sequência de Fibonacci

O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de Fibonacci:

${\displaystyle F(n)={\frac {\phi _{+}^{n}-\phi _{-}^{n}}{\phi _{+}-\phi _{-}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior, sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n. Por exemplo:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2;}$ ${\displaystyle {\frac {3}{2}}=1,5;}$ ${\displaystyle {\frac {8}{5}}=1,6;}$ ${\displaystyle {\frac {13}{8}}=1,625;}$ ${\displaystyle {\frac {89}{55}}=1,61818...\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {6765}{4181}}=1,6180339...}$

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações contínuas, normalmente representadas como [a,b,c,d,e,...], o que resulta em:^[10]

${\displaystyle a+{\frac {1}{b+{\frac {1}{c+{\frac {1}{d+{\frac {1}{e}}}}}}}}}$

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

${\displaystyle [1;1]=1+{\frac {1}{1}}=1+1=2.}$

${\displaystyle [1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}=1,5.}$

${\displaystyle [1;1,1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}=1+{\frac {1}{\frac {3}{2}}}=1+{\frac {2}{3}}={\frac {5}{3}}=1,666.}$

${\displaystyle [1;1,1,1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}=1+{\frac {1}{\frac {5}{3}}}=1+{\frac {3}{5}}={\frac {8}{5}}=1,6.}$

Um número irracional sempre pode ser aproximado por números racionais, e os convergentes da representação em fração contínua são as melhores aproximações. A aproximação é tão melhor quando se corta a expansão em um coeficiente grande; por exemplo, uma boa aproximação de π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] é obtida ao se tomar π ~= [3; 7, 15, 1] = 3.141592654... Como todos os coeficientes da fração contínua de φ são um, todas suas aproximações por racionais são ruins - de fato, φ é o pior número para ser aproximado por racionais.^[10]

Série de raízes

${\displaystyle {\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}}$

Figuras geométricas

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

Vegetais

Como os vegetais não têm formas exatas, a ponto de serem construídos com régua e compasso, a divina proporção, bem como a série Fibonacci, só podem ser encontradas por aproximação. Portanto, seria inexato atribuir correlações perfeitas entre a natureza e uma formulação idealizada pelo homem.^[11][12]

Animais

Nos animais, as medidas também são aproximadas e os desenhos e as modelagens, produzidos dentro desse cânone ideal, são criações exclusivas de artistas, "designers", ilustradores, escultores, entre outros.^[11][12]

Corpo humano

• A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
• A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
• A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
• A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
• O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
• A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
• A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.

Essas proporções anatómicas ideais foram representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

• Dimensão do útero em mulheres jovens (16 e 20 anos), segundo o pesquisador Jasper Vergtus, da Universidade de Leuven.^[13]

O homem, em muitas ocasiões, tem buscado o ideal da perfeição nas linguagens artísticas.

Arte

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa razão áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada.^[15] Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.^[14]

Retângulo dourado

Ver artigo principal: Retângulo de ouro

Em geometria, o retângulo de ouro surge do processo de divisão em média e extrema razão, de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.^[16]

Música

O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa Sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.^[17] O compositor húngaro Béla Bartók também utilizou esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra,^[18] assim como o fez o francês Claude Debussy em diversas composições.^[19]

No jazz, há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos compassos.^[20]

Literatura

No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys, entre outros. Na pesquisa, Ghyka relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.^[21]

Cinema

O diretor russo Sergei Eisenstein utilizou o número ${\displaystyle \phi }$ no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

Arquitetura

Na Pirâmide de Quéops, no Egito, cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível logo acima e também, as câmaras em seu interior seguem esta proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maiores que as larguras. Ainda, nas ruínas do Parthenom, na Grécia, são notadas inúmeras presenças da razão áurea.^[22]

Mercado Financeiro

A aplicação da seqüência e da razão de ouro, mais especificamente o seu inverso, 0,618, na análise dos padrões de reversão de ações é o ponto que liga Fibonacci ao mercado de ações. São pontos baseados nos números descobertos pelo italiano que, segundo muitos analistas, podem indicar os níveis de suporte ou resistência de um papel.^[23]

A proporção áurea é utilizada como referência para o desenvolvimento de logótipos, materiais gráficos e obras audiovisuais,^[24] por muitos "designers" e diretores de arte.

Proporção áurea e regra dos terços

É muito comum, dentro da área audiovisual e fotografia, utilizar-se a regra dos terços, porém muito se defende a substituição dessa técnica pela Proporção Áurea,^[25] já que por sua vez a regra do ponto de ouro é intrínseca à natureza e superior à regra dos terços primária, como descrito pelo fotógrafo britânico Jon Sparkman^[26]

Linha do tempo baseada nos estudos de Priya Hemenway:^[27]

• Phidias (490–430 a.C.) projetou o Partenon que contém proporções áureas.
• Platão (427–347 a.C.), no seu Timeu, descreveu os sólidos platônicos: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Podem ser encontradas proporções áureas em partes dos sólidos.^[28]
• Euclides (325–265 a.C.), em sua obra Os Elementos, registrou a construção geométrica divisão em média e extrema razão (em grego: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).^[29]
• Fibonacci (1170–1250) mencionou a sequência numêrica conhecida como Sequência de Fibonacci; que são aproximações do número de ouro.
• Luca Pacioli (1445–1517) estudou a "divina proporção" em sua obra de mesmo nome. O termo foi sugerido por Leonardo Da Vinci.
• Michael Maestlin (1550–1631) publicou a fração decimal do número de ouro.
• Johannes Kepler (1571–1630) provou que a proporção áurea é o limite da relação entre os números consecutivos da série Fibonacci^[30] e descreveu a proporção áurea como uma "joia preciosa": "A geometria tem dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras, e o outro é a divisão áurea".
• Charles Bonnet (1720–1793) apontou a presença da série Fibonacci nas espirais logarítmicas presentes nas plantas, tanto no sentido horário, como no anti-horário.
• Martin Ohm (1792–1872) acredita-se ter sido o primeiro a usar o termo "segmento áureo" para descrever essa relação, em 1835.^[31]
• Édouard Lucas (1842–1891) deu à sequência numérica o nome de Série de Fibonacci.
• Mark Barr (século XX) sugeriu a letra grega phi ( 'φ' ), que era a letra inicial do nome do escultor grego Fídias, para simbolizar a proporção áurea.^[32]

• Cole, K. C.. O Universo e a Xícara de Chá. São Paulo: Record, 2006. 294p.
• Doczi, György. O Poder dos limites. São Paulo: Mercuryo, 1990.
• Livio, Mario. Razão áurea: a história do phi. São Paulo: Record, 2006. 336p.

• «Goldennumber.net - The "phinest" information on the Golden Section» (em inglês) 
• «Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music» (em inglês) 
• Constantes PHI, PI e E

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Proporção áurea

• Portal da matemática