সোনালী অনুপাত

দুইটি সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তর সংখ্যাটির সাপেক্ষে ঐ দুইটি সংখ্যার যোগফলের অনুপাত যদি ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সাপেক্ষে বৃহত্তর সংখ্যার অনুপাতের সমান হয় তবে সংখ্যা দুইটি সোনালী অনুপাতে বিরাজমান।

a এবং b দুইটি সংখ্যার মধ্যে সোনালি অনুপাত বজায় থাকলে

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

যেখানে a বৃহত্তর সংখ্যা এবং b ক্ষুদ্রতর সংখ্যা।

সংজ্ঞার্থানুসারে,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

বাম পাশের হর ও লবকে b দ্বারা ভাগ করে পাই,

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle {a/b}}$ কে φ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই,

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi }$

উভয় পাশে φ দ্বারা গুণ করলে নিম্নের সমীকরণটি পাওয়া যায় :

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

অথবা

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1\ =\ 0.}$

উপরিউক্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার সমাধান হচ্ছে :

${\displaystyle \varphi ={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}.}$ (দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী)

যেহেতু φ ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\ \approx \ 1.618033989...}$

প্রাচীন কাল থেকে স্থাপত্যে সোনালী অনুপাত প্রয়োগ করা হয়ে আসছে। পৃথিবীর সপ্ত আশ্চর্যের একটি হলো ভারতের আগ্রায় অবস্থিত তাজ মহল।^[১] এর স্থাপত্যশৈলীতে সোনালী অনুপাতের ব্যবহার দেখা যায়। তিউনিসিয়ার কাইরুয়ান জামে মসজিদের (Great Mosque of Kairouan) জ্যামিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে, এটি নির্মাণে সুস্পষ্টভাবে সোনালী অনুপাত প্রয়োগ করা হয়েছে। প্রার্থনার স্থান, প্রাঙ্গণ এবং মিনারের পরিমাপে সোনালী অনুপাতের প্রয়োগ মাত্রিক মাত্রায় পাওয়া যায়।^[২]

n-তম ফিবোনাচ্চি রাশিটি যদি F_n হয়, তাহলে সোনালি অনুপাত ${\displaystyle \,\phi }$ ও F_n এর সম্পর্ক হবে নিম্নরূপ:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}$ ,যেখানে n হলো যেকোন অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।সংক্ষেপে

${\displaystyle F\left(n\right)=}$ ${\displaystyle \,{\frac {\phi ^{n}+\phi _{c}^{n}}{\sqrt {5}}}}$

যেখানে, ${\displaystyle \,\phi _{c}}$ হলো সোনালি অনুপাতের অনুবন্ধী, এর মান ${\displaystyle \,1-\phi }$ ।