Zlatni rez

Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne) „Jedan egipatski svećenik govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“

${\displaystyle v={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle b={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}}$

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {\varphi }{2}}}}$

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.) dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici: - dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive

${\displaystyle {\frac {d}{a_{5}}}=\varphi }$

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom odsječku.

${\displaystyle a(a-x)=x^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+ax-a^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}a}$

Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marko Vitruvije u djelu De architectura libri decem ili Deset knjiga o arhitekturi, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječijeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446–1510) štampao je u Veneciji 1509. djelo De divina proportione, koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika)prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku ${\displaystyle \varphi }$ je 1909. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias 480–430. p. n. e.)

Spisak brojeva γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binarni	1.1001111000110111011...
Decimalni	1,6180339887498948482...
Heksadecimalni	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Neprekidni razlomak	${\displaystyle 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$
Algebarski oblik	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Za dvije veličine (pozitivni brojevi) a i b se kaže da su u zlatnom rezu ϕ ako vrijedi

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.}$

Ova jednačina jednoznačno definiše ϕ.

Desna jednačina pokazuje da je a = bϕ, što se može zamijeniti u lijevi dio, dajući

${\displaystyle {\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.}$

Poništavanjem b na obe strane, dobijamo

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .}$

Množenjem obe strane sa ϕ i premještanjem članova vodi do:

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Jedino pozitivno rješenje ove kvadratne jednačine je

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\dots \,}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618033988...}$

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {1}}}{\varphi }}=\varphi -1=0.618033988...}$

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}={\sqrt {1+{\sqrt {1+\varphi }}}}}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1}}...}}}}}$

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\varphi }}}}=...}$

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$

• Doczi, György (2005) [1981]. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. ISBN 1-590-30259-1. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Huntley, H. E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Proportion. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-22254-3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Arakelyan, Hrant. Mathematics and Hstory of the Golden Section. – Logos 2014, 404 p. — ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.).
• Joseph, George G. (2000) [1991]. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (New Ed. izd.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. |edition= sadrži dodatni tekst (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Sahlqvist, Leif (2008). Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design (3rd Rev. Ed. izd.). Charleston, SC: BookSurge. ISBN 1-4196-2157-2. |edition= sadrži dodatni tekst (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Schneider, Michael S. (1994). A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. ISBN 0-060-16939-7. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Walser, Hans (2001) [Der Goldene Schnitt 1993]. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-534-8. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

• Green, Thomas M. (updated June 20, 2005). "The Pentagram & The Golden Ratio". Arhivirano s originala, 5. 11. 2007. Nepoznati parametar |accessyear= zanemaren (prijedlog zamjene: |access-date=) (pomoć); Nepoznati parametar |accessmonthday= zanemaren (pomoć); Provjerite vrijednost datuma u parametru: |date= (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) Geometry instruction with problems to solve.
• Khan, Amore (revised February 2, 2007). "Khan Amore's Commentary on the Divine Proportion". Arhivirano s originala (HTML; PDF available), 7. 4. 2009. Pristupljeno 29. 12. 2008. Nepoznati parametar |accessyear= zanemaren (prijedlog zamjene: |access-date=) (pomoć); Nepoznati parametar |accessmonthday= zanemaren (pomoć); Provjerite vrijednost datuma u parametru: |date= (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Knott, Ron. "The Golden section ratio: Phi". Arhivirano s originala, 5. 12. 2006. Pristupljeno 29. 12. 2008. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link) Information and activities by a mathematics professor.
• Eric W. Weisstein, Zlatni rez na MathWorld-u.
• Irlande, Alexis. "The golden number to 17 000 000 000 digits". Arhivirano s originala, 6. 1. 2010. Pristupljeno 29. 12. 2008. Nepoznati parametar |accessyear= zanemaren (prijedlog zamjene: |access-date=) (pomoć); Nepoznati parametar |accessmonthday= zanemaren (pomoć); Referenca sadrži prazan nepoznati parametar: |month= (pomoć)CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• http://normala.hr/prezentacije/mkabic/zlatnirez/ZlatniRez.pdf^{[mrtav link]}
• Zlatni rez u radovima slikara Alfreda F. Krupe