Златен пресек

Две величини a и b се во златниот однос φ ако

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$

Затоа,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Множење со φ дава

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

што може да се изрази како

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots }$

и

${\displaystyle \varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0,6180\,339887\dots }$

Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности  φ е секогаш позитивна вредност:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots }$ .

Ирационалнот

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

Контрадикција на израз во најниска вредност

Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;

целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.

Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува:

n спроти m , исто како што и m спроти n − m,

или, во алгебрата:

${\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}$

Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(n − m), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.

Извод од ирационалноста на бројот √5

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако ${\displaystyle }$ е рационално, и ${\displaystyle }$ е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

Најмал полином

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

${\displaystyle x^{2}-x-1.}$

Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

Роднина на златниот пресек

Други корени од најмалите полиноми x -² - x - 1

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}$

Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек.^[2] Се означува со голема буква Фи (${\displaystyle \Phi }$ ):

${\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}$

• Златен правоаголник
• Сребрен пресек