黃金比例

一條線段，其中有一個分割點，令到整體長度比長節=長節比短節，咁呢個比例就係黃金比。假設短節係1，長節係x。

黃金比就可寫做${\displaystyle {x+1 \over x}={x \over 1}}$ ，轉換成${\displaystyle x^{2}=x+1}$ ，執靚佢 ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$ ，

用公式計到${\displaystyle x={1\pm {\sqrt {5}} \over 2}}$ ，因為${\displaystyle x}$ 係正數，所以${\displaystyle x={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ 。

視藝

"Without Mathematics There is No Art." （「冇咗數學，就唔會有藝術。」）

Luca Pacioli （盧卡·帕西奧利）

視覺藝術上有對作品嘅數學特性作出思考。有唔少呢方面嘅工作者同學者認為，喺構圖上展示某啲數學特性嘅視藝作品會零舍有美感，而黃金比例就係一個成日俾人指同美感有重大關係嘅數值^[1]：有好多藝術界嘅工作者都相信，一幅靚嘅畫（或者一件靚嘅視藝作品）構圖需要喺某啲方面展示黃金比例；而文藝復興時期（Renaissance）嘅意大利藝術家廣泛噉將黃金比例用喺佢哋作品嘅構圖當中^[2]，以達文西（Da Vinci）舉世聞名嘅作品《蒙娜麗莎》（Mona Lisa）為例^[3][4]：

黃金長方形嘅圖解；圖中嘅 ${\displaystyle a}$ 同 ${\displaystyle b}$ 成黃金比例。  《蒙娜麗莎》全圖  蒙娜麗莎塊面俾人指係運用咗黃金長方形嘅原理。

無理數

黃金比例係一個無理數，以下係兩個簡單嘅證明：

最簡分數

根據定義，如果假設長邊嘅長度係a，短邊嘅長度係b，咁黃金比例就符合：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$

但係如果設長邊係n，兩條邊加埋係m，咁等式就變成：

${\displaystyle {\frac {n}{m-n}}={\frac {m}{n}}}$

假如黃金比例係有理數，咁佢就可以寫做兩個整數嘅比例，可以假設約到最簡之後係 m/n，但係根據上面條式，n/(m-n) 係約到更簡嘅分數，得出矛盾，所以黃金比例係無理數。

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 係無理數

• 貴金屬比
• 二次方程
• 美感