Правильный многоугольник

• Центром правильного многоугольника называется его центр масс, совпадающий с центрами его вписанной и описанной окружностей.

• Центральным углом правильного многоугольника называется центральный угол его описанной окружности, опирающийся на его сторону. Величина центрального угла правильного ${\displaystyle n}$ -угольника равна ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ ^[1][2].

Координаты

Пусть ${\displaystyle x_{C}}$ и ${\displaystyle y_{C}}$  — координаты центра, а ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ${\displaystyle {\phi }_{0}}$  — угловая координата первой вершины относительно центра, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

${\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$

${\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$

где ${\displaystyle i}$ принимает значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$ .

Размеры

Пусть ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}}$ ,

а длина стороны многоугольника равна

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ и длиной стороны ${\displaystyle a}$ составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle R}$ , составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , описанного вокруг окружности радиуса ${\displaystyle r}$ , составляет:

${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ равна

${\displaystyle S={\frac {nra}{2}}={\frac {1}{2}}Pr}$ ,

где ${\displaystyle r}$  — радиус вписанной окружности многоугольника, ${\displaystyle a}$  — длина его стороны, а ${\displaystyle P}$ - его периметр.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны ${\displaystyle a_{n}}$ правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности ${\displaystyle L}$ можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

${\displaystyle a_{n}}$  — длина стороны правильного n-угольника.

${\displaystyle a_{n}=\sin {\Big (}{\frac {\pi }{n}}{\Big )}\cdot {\frac {L}{\pi }}}$

Периметр ${\displaystyle P_{n}}$ равен

${\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}$

где ${\displaystyle n}$ — число сторон многоугольника.

• Максимальное количество диагоналей правильного ${\displaystyle n}$ -угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной или центром, равно:
  • ${\displaystyle 2}$ , если ${\displaystyle n}$ нечётно;
  • ${\displaystyle 3}$ , если ${\displaystyle n}$ чётно, но не делится на ${\displaystyle 6}$ ;
  • ${\displaystyle 5}$ , если ${\displaystyle n}$ делится на ${\displaystyle 6}$ , но не делится на ${\displaystyle 30}$ ;
  • ${\displaystyle 7}$ , если ${\displaystyle n}$ делится на ${\displaystyle 30}$ .

Существуют лишь три исключения: данное число равно ${\displaystyle 0}$ в треугольнике, ${\displaystyle 2}$ в шестиугольнике и ${\displaystyle 4}$ в двенадцатиугольнике^[3].

При чётном ${\displaystyle n}$ в центре многоугольника пересекается ${\displaystyle n/2}$ диагонали.

Введём функцию ${\displaystyle \delta _{m}(n)}$ , равную ${\displaystyle 1}$ в случае, если ${\displaystyle n}$ делится на ${\displaystyle m}$ , и равную ${\displaystyle 0}$ в противном случае. Тогда:

• Количество точек пересечения диагоналей правильного ${\displaystyle n}$ -угольника равно

${\displaystyle {\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _{2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

Где ${\displaystyle C_{n}^{4}}$ - число сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle 4}$ ^[3].

• Количество частей, на которые правильный ${\displaystyle n}$ -угольник делят его диагонали, равно

${\displaystyle {\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

^[3].

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круг^[4]а.

Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с ${\displaystyle n}$ сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на ${\displaystyle n}$ равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для ${\displaystyle n=3,4,5,6,15}$ . Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с ${\displaystyle 2^{m}}$ сторонами (при целом ${\displaystyle m>1}$ ), имея уже построенный многоугольник с числом сторон ${\displaystyle 2^{m-1}}$ : пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ сторонами, и ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ взаимно простые, то можно построить и многоугольник с ${\displaystyle r\cdot s}$ сторонами. Это достигается построением многоугольника с ${\displaystyle s}$ сторонами и многоугольника с ${\displaystyle r}$ сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей - в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами ${\displaystyle rs}$ -угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с ${\displaystyle 2^{m}\cdot 3}$ , ${\displaystyle 2^{m}\cdot 5}$ и ${\displaystyle 2^{m}\cdot 3\cdot 5}$ сторонами при любом целом неотрицательном ${\displaystyle m}$ .

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: ${\displaystyle 3,5,17,257,65537}$ . Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного ${\displaystyle 17}$ -угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу^[5].

Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно ${\displaystyle 2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}}$ , где ${\displaystyle {k}}$  — целое неотрицательное число, а ${\displaystyle {p_{j}}}$  — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.

Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

• Правильный многогранник