Poligono regolare

Ogni poligono regolare con ${\displaystyle n}$ lati è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze, infatti tracciando le bisettrici degli angoli interni si ottengono ${\displaystyle n}$ triangoli isosceli tutti congruenti e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze.

Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente ${\displaystyle n}$ assi di simmetria; se poi il numero di lati ${\displaystyle n}$ è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono. Oltre a queste simmetrie, vi sono anche altre trasformazioni lineari che lasciano invariato il poligono, ossia le rotazioni rispetto al centro di angoli multipli di ${\displaystyle 360^{\circ }/n}$ . L'insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo, il gruppo diedrale di ordine ${\displaystyle 2n}$ .

Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a ${\displaystyle (1-2/n)\cdot 180^{\circ }}$ , pertanto la somma degli angoli interni è ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$ . Gli angoli esterni invece misurano ${\displaystyle 360^{\circ }/n}$ e dunque la loro somma consiste in un angolo di ${\displaystyle 360^{\circ }}$ .

Non tutti i poligoni regolari sono costruibili con riga e compasso, si dimostra infatti che una condizione necessaria e sufficiente perché ciò accada è che i fattori primi dispari del numero di lati siano primi di Fermat distinti. In particolare, il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono e l'esagono regolari sono costruibili con riga e compasso, mentre l'ettagono regolare non lo è.

Dato che gli ${\displaystyle n}$ triangoli isosceli in cui è scomponibile il poligono sono tutti congruenti, è chiaro che ogni angolo al centro ${\displaystyle \alpha }$ ha ampiezza

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}.}$

Di conseguenza, dato che gli angoli alla base di tali triangoli isosceli hanno ampiezza che è la metà di ogni angolo interno ${\displaystyle \beta }$ , si ha che

${\displaystyle \beta =2\cdot {\frac {\beta }{2}}=180^{\circ }-\alpha =\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot 180^{\circ },}$

mentre ogni angolo esterno ${\displaystyle \gamma }$ ha ampiezza

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}=\alpha .}$

Dato che il numero di angoli interni, esterni e al centro è sempre ${\displaystyle n}$ , segue che la somma degli angoli interni è

${\displaystyle n\beta =\left(n-2\right)\cdot 180^{\circ },}$

mentre la somma di somma degli angoli al centro (o, equivalentemente, degli angoli esterni) è

${\displaystyle n\alpha =n\gamma =360^{\circ }.}$

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. È facile ricavare una relazione tra l'apotema e il raggio della circonferenza circoscritta. Infatti, dato che i lati uguali di ognuno degli ${\displaystyle n}$ triangoli isosceli che compongono il poligono sono raggi della circonferenza circoscritta e che gli angoli alla base hanno ampiezza ${\displaystyle \beta /2}$ , risulta che l'apotema (che coincide con l'altezza di tali triangoli) misura

${\displaystyle a=r\sin {\frac {\beta }{2}}=r\sin \left(90^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{n}}\right)=r\,\cos {\frac {180^{\circ }}{n}},}$

ove ${\displaystyle r}$ è il raggio della circonferenza circoscritta. Esprimendo l'apotema in funzione del lato ${\displaystyle l}$ del poligono (nonché base del triangolo isoscele), si ha

${\displaystyle a={\frac {l}{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}={\frac {l}{2}}\tan \left(90^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{n}}\right)={\frac {l}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Da queste due equazioni si può anche ricavare il raggio della circonferenza circoscritta in funzione del lato:

${\displaystyle r={\frac {l}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}.}$

Il perimetro ${\displaystyle P_{n}}$ è definito come la lunghezza della spezzata che delimita il poligono. Chiaramente risulta

${\displaystyle P_{n}=nl,}$

o anche, usando le formule della sezione precedente,

${\displaystyle P_{n}=2nr\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}=2na\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Per calcolare l'area di un poligono regolare è sufficiente moltiplicare per ${\displaystyle n}$ l'area dei triangoli isosceli che lo compongono. Quindi, dato che tali triangoli hanno come base un lato e come altezza l'apotema, il poligono regolare di ${\displaystyle n}$ lati ha area

${\displaystyle A_{n}=n{\frac {al}{2}}={\frac {nl^{2}}{4}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}},}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle A_{n}=nr^{2}\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\cdot \cos {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {nr^{2}}{2}}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}}=na^{2}\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}.}$

Si noti che per ${\displaystyle n}$ che tende all'infinito, l'area tende a

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }A_{n}=\pi r^{2},}$

perché

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}=\pi ,}$

che non è altro che l'area del cerchio circoscritto, confermando così l'intuizione che al crescere del numero dei lati il poligono vada a "riempire" il cerchio circoscritto. Allo stesso modo si trova che

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }P_{n}=2\pi r,}$

poiché

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }n\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}=\pi .}$

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide dimostra la seguente proposizione:

Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui ci limiteremo a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato ${\displaystyle L_{5}}$ del pentagono, ${\displaystyle L_{6}}$ dell'esagono e ${\displaystyle L_{10}}$ del decagono, sono le seguenti:

• ${\displaystyle L_{5}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}};}$
• ${\displaystyle L_{6}=1;}$
• ${\displaystyle L_{10}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$

Allora:

${\displaystyle {\sqrt {L_{6}^{2}+L_{10}^{2}}}={\sqrt {1^{2}+\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {5}{4}}-{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {{\frac {10}{4}}-{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}=L_{5}}$

Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.

N.B.: Se si pensa a un poligono con un grandissimo numero di lati, l'angolo interno di quel poligono tende a diventare piatto e l'area si avvicina di più a quella della circonferenza circoscritta.

Numero di lati, angoli e vertici	Poligono	Disegno	Angolo interno	Lato[1]	Area[1]	Animazione: costruzione con riga e compasso
3	Triangolo equilatero		60°	√3≅1.732	3/4·√3≅1.299	Costruzione esatta
4	Quadrato		90°	√2≅1.414	2	Costruzione esatta
5	Pentagono		108°	≅1.176	≅2.378	Costruzione esatta
6	Esagono		120°	1	3/2·√3≅2.598	Costruzione esatta
7	Ettagono		≅128,57°	≅0.868	≅2.736	Costruzione approssimata
8	Ottagono		135°	≅0.765	2·√2≅2.828	Costruzione esatta
9	Ennagono		140°	≅0.684	≅2.893	Costruzione approssimata
10	Decagono		144°	≅0.618	≅2.939	Costruzione esatta
11	Endecagono		≅147,27°	≅0.563	≅2.974	Costruzione approssimata
12	Dodecagono		150°	≅0.518	3	Costruzione esatta
13	Tridecagono		≅152,31°	≅0.479	≅3.021	Costruzione approssimata
14	Tetradecagono		≅154,29°	≅0.445	≅3.037	Costruzione approssimata
15	Pentadecagono		156°	≅0.416	≅3.051	Costruzione esatta
16	Esadecagono		157,5°	≅0.390	≅3.061	Costruzione esatta
17	Ettadecagono		≅158,82°	≅0.367	≅3.071	Costruzione esatta 34-gono, 51-gono 85-gono, 255-gono
18	Ottadecagono		160°	≅0.347	≅3.078	Costruzione approssimata
19	Ennadecagono		≅161,05°	≅0.329	≅3.085	Costruzione approssimata
20	Icosagono		162°	≅0.313	≅3.090	Costruzione esatta
257	257-gono		≅178.6°	≅0.024	≅3,141	Costruzione esatta
65537	65537-gono		≅179.9945°	≅0.000096	≅3,1416	Costruzione parziale

• Geometria piana
• Poligono
• Poligono regolare improprio

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su poligono regolare

• (EN) regular polygon, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Poligono regolare, su MathWorld, Wolfram Research.

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